ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 58 Алимов — Подробные Ответы

1. $2^{\frac{4}{5}}\cdot 2^{\frac{11}{5}}$
2. $5^{\frac{2}{7}}\cdot 5^{\frac{5}{7}}$
3. $9^{\frac{2}{3}}:9^{\frac{1}{6}}$
4. $4^{\frac{1}{3}}:4^{\frac{5}{6}}$
5. ${\left(8^{\frac{1}{12}}\right)}^{-4}$

1. $2^{\frac{4}{5}}\cdot 2^{\frac{11}{5}}=2^{\frac{4}{5}+\frac{11}{5}}=2^3=8$
2. $5^{\frac{2}{7}}\cdot 5^{\frac{5}{7}}=5^{\frac{2}{7}+\frac{5}{7}}=5^1=5$
3. $9^{\frac{2}{3}}:9^{\frac{1}{6}}=9^{\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}=9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3$
4. $4^{\frac{1}{3}}:4^{\frac{5}{6}}=4^{\frac{1}{3}-\frac{5}{6}}=4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$
5. ${\left(8^{\frac{1}{12}}\right)}^{-4}=8^{-\frac{4}{12}}=8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$

1) $2^{\frac{4}{5}}\cdot 2^{\frac{11}{5}}$

Мы видим, что у нас есть произведение двух степеней с одинаковым основанием $2$. При умножении степеней с одинаковым основанием степени складываются. Это основано на следующем свойстве степеней:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

В нашем случае:

$$2^{\frac{4}{5}}\cdot 2^{\frac{11}{5}}=2^{\frac{4}{5}+\frac{11}{5}}$$

Теперь давайте сложим дроби. Поскольку у дробей одинаковый знаменатель (5), просто складываем числители:

$$\frac{4}{5}+\frac{11}{5}=\frac{4+11}{5}=\frac{15}{5}$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$2^{\frac{15}{5}}=2^3$$

Теперь вычислим $2^3$:

$$2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$$

Ответ: $8$

2) $5^{\frac{2}{7}}\cdot 5^{\frac{5}{7}}$

Здесь тоже произведение двух степеней с одинаковым основанием $5$. По аналогии с первым примером, применяем правило сложения степеней с одинаковым основанием:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

В нашем случае:

$$5^{\frac{2}{7}}\cdot 5^{\frac{5}{7}}=5^{\frac{2}{7}+\frac{5}{7}}$$

Теперь складываем дроби с одинаковым знаменателем:

$$\frac{2}{7}+\frac{5}{7}=\frac{2+5}{7}=\frac{7}{7}=1$$

Получаем:

$$5^1=5$$

Ответ: $5$

3) $9^{\frac{2}{3}}:9^{\frac{1}{6}}$

Теперь рассмотрим деление степеней с одинаковым основанием $9$. При делении степеней с одинаковым основанием степени вычитаются. Это правило выглядит так:

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

В нашем случае:

$$9^{\frac{2}{3}}:9^{\frac{1}{6}}=9^{\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}$$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Для дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{6}$ общий знаменатель — это 6. Преобразуем $\frac{2}{3}$ в дробь с знаменателем 6:

$$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$$

Теперь можем вычесть дроби:

$$\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4-1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$9^{\frac{1}{2}}$$

Теперь извлекаем квадратный корень из 9:

$$9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3$$

Ответ: $3$

4) $4^{\frac{1}{3}}:4^{\frac{5}{6}}$

Здесь также деление степеней с одинаковым основанием $4$. Применяем правило вычитания степеней:

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

В нашем случае:

$$4^{\frac{1}{3}}:4^{\frac{5}{6}}=4^{\frac{1}{3}-\frac{5}{6}}$$

Для вычитания дробей приводим их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{6}$ — это 6. Преобразуем $\frac{1}{3}$в дробь с знаменателем 6:

$$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{2}{6}-\frac{5}{6}=\frac{2-5}{6}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$$

Таким образом, выражение становится:

$$4^{-\frac{1}{2}}$$

Используем свойство отрицательных степеней:

$$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$$

Получаем:

$$4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}$$

Теперь вычисляем $4^{\frac{1}{2}}$, что означает извлечение квадратного корня из 4:

$$4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$$

Таким образом:

$$4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

5) ${\left(8^{\frac{1}{12}}\right)}^{-4}$

Здесь мы возводим степень в степень. При возведении степени в степень показатели умножаются. Это свойство степеней записывается так:

$$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$$

В нашем случае:

$${\left(8^{\frac{1}{12}}\right)}^{-4}=8^{\frac{1}{12}\cdot (-4)}=8^{-\frac{4}{12}}=8^{-\frac{1}{3}}$$

Используем свойство отрицательной степени:

$$8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}$$

Теперь вычисляем $8^{\frac{1}{3}}$, что означает извлечение кубического корня из 8:

$$8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$$

Таким образом:

$$8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

Итоговые ответы:

1. $8$
2. $5$
3. $3$
4. $\frac{1}{2}$
5. $\frac{1}{2}$