ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 57 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (57—60).

1. ${64}^{\frac{1}{2}}<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"> </span>$
2. ${27}^{\frac{1}{3}}<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"> </span>$
3. $8^{\frac{2}{3}} = \left( \sqrt[3]{8} \right)^2 = 2^2 = 4$
4. $81^{\frac{3}{4}} = \left( \sqrt[4]{81} \right)^3 = 3^3 = 27$
5. $16^{-0,75} = \frac{1}{16^{0,75}} = \frac{1}{8}$
6. $9^{-1,5}$

1. ${64}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{64}=8$$\mathrm{<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"> </span>}$
2. $27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$
3. $8^{\frac{2}{3}} = \left( \sqrt[3]{8} \right)^2 = 2^2 = 4$
4. $81^{\frac{3}{4}} = \left( \sqrt[4]{81} \right)^3 = 3^3 = 27$
5. $16^{-0,75} = \frac{1}{16^{0,75}} = \frac{1}{8}$
6. $9^{-1,5} = \frac{1}{9^{1,5}} = \frac{1}{27}$

Давайте решим каждый из этих примеров поэтапно, подробно объяснив все шаги.

1) $64^{\frac{1}{2}}$

Это выражение обозначает извлечение квадратного корня из числа 64, поскольку степень $\frac{1}{2}$ — это то же самое, что и корень второй степени (квадратный корень).

$$64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8$$

Ответ: $64^{\frac{1}{2}} = 8$

2) $27^{\frac{1}{3}}$

Здесь мы извлекаем кубический корень из числа 27. Степень $\frac{1}{3}$ означает именно кубический корень.

$$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$$

Кубический корень из 27 — это число, которое в кубе дает 27. Мы знаем, что:

$$3^3 = 27$$

Ответ: $27^{\frac{1}{3}} = 3$

3) $8^{\frac{2}{3}}$

Это выражение можно представить как сочетание двух операций: сначала извлечение кубического корня из 8, а затем возведение результата в квадрат.

Извлечем кубический корень из 8:

$$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$$

Теперь возведем результат в квадрат:

$$2^2 = 4$$

Ответ: $8^{\frac{2}{3}} = 4$

4) $81^{\frac{3}{4}}$

Здесь мы извлекаем четвертый корень из числа 81, а затем возводим результат в куб.

Извлечем четвертый корень из 81:

$$81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81}$$

Так как $81 = 3^4$, то:

$$\sqrt[4]{81} = 3$$

Теперь возведем результат в куб:

$$3^3 = 27$$

Ответ: $81^{\frac{3}{4}} = 27$

5) $16^{-0,75}$

Степень $-0,75$ можно представить как отрицательную степень и дробь:

$$16^{-0,75} = \frac{1}{16^{0,75}}$$

Теперь разберемся, что такое $16^{0,75}$. Это то же самое, что:

$$16^{0,75} = 16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{16^3}$$

Рассмотрим сначала $16^3$:

$$16 = 2^4, \quad 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}$$

Теперь извлечем четвертый корень из $2^{12}$:

$$\sqrt[4]{2^{12}} = 2^3 = 8$$

Таким образом:

$$16^{0,75} = 8$$

Теперь вернемся к отрицательной степени:

$$16^{-0,75} = \frac{1}{8}$$

Ответ: $16^{-0,75} = \frac{1}{8}$

6) $9^{-1,5}$

Применим аналогичное преобразование, как и в предыдущем примере:

$$9^{-1,5} = \frac{1}{9^{1,5}}$$

Теперь разберемся, что такое $9^{1,5}$. Это можно записать как:

$$9^{1,5} = 9^{\frac{3}{2}} = \sqrt{9^3}$$

Рассмотрим $9^3$:

$$9 = 3^2, \quad 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$$

Теперь извлекаем квадратный корень из $3^6$:

$$\sqrt{3^6} = 3^3 = 27$$

Таким образом:

$$9^{1,5} = 27$$

Теперь вернемся к отрицательной степени:

$$9^{-1,5} = \frac{1}{27}$$

Ответ: $9^{-1,5} = \frac{1}{27}$

Ответы:

1. $64^{\frac{1}{2}} = 8$
2. $27^{\frac{1}{3}} = 3$
3. $8^{\frac{2}{3}} = 4$
4. $81^{\frac{3}{4}} = 27$
5. $16^{-0,75} = \frac{1}{8}$
6. $9^{-1,5} = \frac{1}{27}$

Каждое из этих выражений решается с использованием свойств степеней и корней.$\frac{1}{27}$