ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 57 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (57—60).

1. ${64}^{\frac{1}{2}}$
2. ${27}^{\frac{1}{3}}$
3. $8^{\frac{2}{3}}$
4. ${81}^{\frac{3}{4}}$
5. ${16}^{-0,75}$
6. $9^{-1,5}$

1. ${64}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{64}=8$$\mathrm{ }$
2. ${27}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3$
3. $8^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$
4. ${81}^{\frac{3}{4}}={\left(\sqrt[4]{81}\right)}^3=3^3=27$
5. ${16}^{-0,75}=\frac{1}{{16}^{0,75}}=\frac{1}{8}$
6. $9^{-1,5}=\frac{1}{9^{1,5}}=\frac{1}{27}$

Давайте решим каждый из этих примеров поэтапно, подробно объяснив все шаги.

1) ${64}^{\frac{1}{2}}$

Это выражение обозначает извлечение квадратного корня из числа 64, поскольку степень $\frac{1}{2}$ — это то же самое, что и корень второй степени (квадратный корень).

$${64}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{64}=8$$

Ответ: ${64}^{\frac{1}{2}}=8$

2) ${27}^{\frac{1}{3}}$

Здесь мы извлекаем кубический корень из числа 27. Степень $\frac{1}{3}$ означает именно кубический корень.

$${27}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}$$

Кубический корень из 27 — это число, которое в кубе дает 27. Мы знаем, что:

$$3^3=27$$

Ответ: ${27}^{\frac{1}{3}}=3$

3) $8^{\frac{2}{3}}$

Это выражение можно представить как сочетание двух операций: сначала извлечение кубического корня из 8, а затем возведение результата в квадрат.

Извлечем кубический корень из 8:

$$8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$$

Теперь возведем результат в квадрат:

$$2^2=4$$

Ответ: $8^{\frac{2}{3}}=4$

4) ${81}^{\frac{3}{4}}$

Здесь мы извлекаем четвертый корень из числа 81, а затем возводим результат в куб.

Извлечем четвертый корень из 81:

$${81}^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81}$$

Так как $81=3^4$, то:

$$\sqrt[4]{81}=3$$

Теперь возведем результат в куб:

$$3^3=27$$

Ответ: ${81}^{\frac{3}{4}}=27$

5) ${16}^{-0,75}$

Степень $-0,75$ можно представить как отрицательную степень и дробь:

$${16}^{-0,75}=\frac{1}{{16}^{0,75}}$$

Теперь разберемся, что такое ${16}^{0,75}$. Это то же самое, что:

$${16}^{0,75}={16}^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{16}^3}$$

Рассмотрим сначала ${16}^3$:

$$16=2^4,{16}^3=(2^4{)}^3=2^{12}$$

Теперь извлечем четвертый корень из $2^{12}$:

$$\sqrt[4]{2^{12}}=2^3=8$$

Таким образом:

$${16}^{0,75}=8$$

Теперь вернемся к отрицательной степени:

$${16}^{-0,75}=\frac{1}{8}$$

Ответ: ${16}^{-0,75}=\frac{1}{8}$

6) $9^{-1,5}$

Применим аналогичное преобразование, как и в предыдущем примере:

$$9^{-1,5}=\frac{1}{9^{1,5}}$$

Теперь разберемся, что такое $9^{1,5}$. Это можно записать как:

$$9^{1,5}=9^{\frac{3}{2}}=\sqrt{9^3}$$

Рассмотрим $9^3$:

$$9=3^2,9^3=(3^2{)}^3=3^6$$

Теперь извлекаем квадратный корень из $3^6$:

$$\sqrt{3^6}=3^3=27$$

Таким образом:

$$9^{1,5}=27$$

Теперь вернемся к отрицательной степени:

$$9^{-1,5}=\frac{1}{27}$$

Ответ: $9^{-1,5}=\frac{1}{27}$

Ответы:

1. ${64}^{\frac{1}{2}}=8$
2. ${27}^{\frac{1}{3}}=3$
3. $8^{\frac{2}{3}}=4$
4. ${81}^{\frac{3}{4}}=27$
5. ${16}^{-0,75}=\frac{1}{8}$
6. $9^{-1,5}=\frac{1}{27}$

Каждое из этих выражений решается с использованием свойств степеней и корней.