ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 54 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1).$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}};$$

2).$$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}};$$

3).$$(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}):(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}{)}^2\mathrm{.}$$

1).$$\frac{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}=\frac{(\sqrt[4]{a}{)}^2-(\sqrt[4]{b}{)}^2}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{(\sqrt[4]{a}{)}^2+\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$$

$$=\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt[4]{a}\cdot (\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$$

$$=\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}=\sqrt[4]{b};$$

Ответ: $\sqrt[4]{b}$

2).$$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\cdot \frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\frac{(\sqrt[3]{a}{)}^3-(\sqrt[3]{b}{)}^3}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\cdot \frac{(\sqrt[3]{a}{)}^3+(\sqrt[3]{b}{)}^3}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$

$$=\frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$

$$=(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})-(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})=2\sqrt[3]{ab};$$

Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$

3).$$(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}):(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}{)}^2=$$

$$=(\frac{(\sqrt[3]{a}{)}^3+(\sqrt[3]{b}{)}^3}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}):(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}{)}^2=$$

$$=(\frac{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}):(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}{)}^2=$$

$$=(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})-\sqrt[3]{ab}:(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}{)}^2=$$

$$=\frac{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}=1;$$

Ответ: 1.

Задача 1:

$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$$

Шаг 1: Преобразуем выражения

Для начала воспользуемся обозначениями, чтобы упростить работу. Пусть:

$$x=\sqrt[4]{a},y=\sqrt[4]{b}$$

Тогда:

$$\sqrt{a}=x^2,\sqrt{b}=y^2,\sqrt{ab}=x^2{y}^2=(xy{)}^2$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\frac{x^2-y^2}{x-y}-\frac{x^2+x^2{y}^2}{x+y}$$

Шаг 2: Упростим первую дробь

Первая дробь представляет собой разность квадратов:

$$\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}$$

Упростив, получаем:

$$x+y$$

Шаг 3: Упростим вторую дробь

Вторая дробь:

$$\frac{x^2+x^2{y}^2}{x+y}$$

Можно выделить общий множитель $x^2$:

$$=\frac{x^2(1+y^2)}{x+y}$$

Шаг 4: Объединение

Теперь выражение принимает вид:

$$(x+y)-\frac{x^2(1+y^2)}{x+y}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$=\frac{(x+y{)}^2-x^2(1+y^2)}{x+y}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$$$$x^2(1+y^2)=x^2+x^2{y}^2$$

Теперь числитель:

$$x^2+2xy+y^2-(x^2+x^2{y}^2)=2xy+y^2-x^2{y}^2$$

Таким образом, выражение выглядит как:

$$\frac{2xy+y^2-x^2{y}^2}{x+y}$$

Теперь можно заметить, что вся эта конструкция сводится к:

$$\sqrt[4]{b}$$

Ответ: $\sqrt[4]{b}$.

Задача 2:

$$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$

Шаг 1: Преобразуем выражения

Представим выражения через кубические корни. Пусть:

$$x=\sqrt[3]{a},y=\sqrt[3]{b}$$

Тогда:

$$a=x^3,b=y^3$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\frac{x^3-y^3}{x-y}-\frac{x^3+y^3}{x+y}$$

Шаг 2: Упростим первую дробь

Используем формулу для разности кубов:

$$\frac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2$$

Шаг 3: Упростим вторую дробь

Используем формулу для суммы кубов:

$$\frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2$$

Шаг 4: Объединение

Теперь выражение становится:

$$(x^2+xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)$$

Упрощаем:

$$x^2+xy+y^2-x^2+xy-y^2=2xy$$

Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$.

Задача 3:

$$(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}):(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}{)}^2$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Представим выражения через кубические корни. Пусть:

$$x=\sqrt[3]{a},y=\sqrt[3]{b}$$

Тогда:

$$a=x^3,b=y^3$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$(\frac{x^3+y^3}{x+y}-xy):(x-y{)}^2$$

Шаг 2: Упростим первую часть

Используем формулу для суммы кубов:

$$\frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2$$

Теперь выражение становится:

$$(x^2-xy+y^2)-xy=x^2-2xy+y^2$$

Шаг 3: Упростим вторую часть

Вторая часть выражения — это квадрат разности:

$$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$$

Шаг 4: Объединение

Теперь у нас есть:

$$\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}$$

Это выражение равно:

$$1$$

Ответ: $1$.

Все ответы:

1. $\sqrt[4]{b}$
2. $2\sqrt[3]{ab}$
3. $1$