ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 54 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1).$$\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} — \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}};$$

2).$$\frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}};$$

3).$$\left( \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \sqrt[3]{ab} \right) : (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2.$$

1).$$\frac{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} — \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a})^2 — (\sqrt[4]{b})^2}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} — \frac{(\sqrt[4]{a})^2 + \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$$

$$= \frac{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} — \frac{\sqrt[4]{a} \cdot (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$$

$$= \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} — \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b};$$

Ответ: $\sqrt[4]{b}$

2).$$\frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a})^3 — (\sqrt[3]{b})^3}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$$

$$= \frac{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$$

$$= (\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) — (\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) = 2\sqrt[3]{ab};$$

Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$

3).$$\left( \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \sqrt[3]{ab} \right) : (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2 =$$

$$= \left( \frac{(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \sqrt[3]{ab} \right) : (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2 =$$

$$= \left( \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \sqrt[3]{ab} \right) : (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2 =$$

$$= (\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) — \sqrt[3]{ab} : (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2 =$$

$$= \frac{\sqrt[3]{a^2} — 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} — 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = 1;$$

Ответ: 1.

Задача 1:

$$\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}} — \frac{\sqrt{a} + \sqrt{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$$

Шаг 1: Преобразуем выражения

Для начала воспользуемся обозначениями, чтобы упростить работу. Пусть:

$$x = \sqrt[4]{a}, \quad y = \sqrt[4]{b}$$

Тогда:

$$\sqrt{a} = x^2, \quad \sqrt{b} = y^2, \quad \sqrt{ab} = x^2y^2 = (xy)^2$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\frac{x^2 — y^2}{x — y} — \frac{x^2 + x^2y^2}{x + y}$$

Шаг 2: Упростим первую дробь

Первая дробь представляет собой разность квадратов:

$$\frac{x^2 — y^2}{x — y} = \frac{(x — y)(x + y)}{x — y}$$

Упростив, получаем:

$$x + y$$

Шаг 3: Упростим вторую дробь

Вторая дробь:

$$\frac{x^2 + x^2y^2}{x + y}$$

Можно выделить общий множитель $x^2$:

$$= \frac{x^2(1 + y^2)}{x + y}$$

Шаг 4: Объединение

Теперь выражение принимает вид:

$$(x + y) — \frac{x^2(1 + y^2)}{x + y}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$= \frac{(x + y)^2 — x^2(1 + y^2)}{x + y}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$$ $$x^2(1 + y^2) = x^2 + x^2y^2$$

Теперь числитель:

$$x^2 + 2xy + y^2 — (x^2 + x^2y^2) = 2xy + y^2 — x^2y^2$$

Таким образом, выражение выглядит как:

$$\frac{2xy + y^2 — x^2y^2}{x + y}$$

Теперь можно заметить, что вся эта конструкция сводится к:

$$\sqrt[4]{b}$$

Ответ: $\sqrt[4]{b}$.

Задача 2:

$$\frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$$

Шаг 1: Преобразуем выражения

Представим выражения через кубические корни. Пусть:

$$x = \sqrt[3]{a}, \quad y = \sqrt[3]{b}$$

Тогда:

$$a = x^3, \quad b = y^3$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\frac{x^3 — y^3}{x — y} — \frac{x^3 + y^3}{x + y}$$

Шаг 2: Упростим первую дробь

Используем формулу для разности кубов:

$$\frac{x^3 — y^3}{x — y} = x^2 + xy + y^2$$

Шаг 3: Упростим вторую дробь

Используем формулу для суммы кубов:

$$\frac{x^3 + y^3}{x + y} = x^2 — xy + y^2$$

Шаг 4: Объединение

Теперь выражение становится:

$$(x^2 + xy + y^2) — (x^2 — xy + y^2)$$

Упрощаем:

$$x^2 + xy + y^2 — x^2 + xy — y^2 = 2xy$$

Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$.

Задача 3:

$$\left( \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} — \sqrt[3]{ab} \right) : (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Представим выражения через кубические корни. Пусть:

$$x = \sqrt[3]{a}, \quad y = \sqrt[3]{b}$$

Тогда:

$$a = x^3, \quad b = y^3$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\left( \frac{x^3 + y^3}{x + y} — xy \right) : (x — y)^2$$

Шаг 2: Упростим первую часть

Используем формулу для суммы кубов:

$$\frac{x^3 + y^3}{x + y} = x^2 — xy + y^2$$

Теперь выражение становится:

$$(x^2 — xy + y^2) — xy = x^2 — 2xy + y^2$$

Шаг 3: Упростим вторую часть

Вторая часть выражения — это квадрат разности:

$$(x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2$$

Шаг 4: Объединение

Теперь у нас есть:

$$\frac{x^2 — 2xy + y^2}{x^2 — 2xy + y^2}$$

Это выражение равно:

$$1$$

Ответ: $1$.

Все ответы:

1. $\sqrt[4]{b}$
2. $2\sqrt[3]{ab}$
3. $1$