ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 513 Алимов — Подробные Ответы

Выразить квадрат синуса (косинуса) заданного угла через косинус угла, в два раза большего:

1. sin2 15°;
2. cos2 1/4;
3. cos2(пи/4 -a);
4. sin2(пи/4+a).

1. $\sin^2 15^\circ = \frac{1 — \cos(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{1 — \cos 30^\circ}{2}$;
2. $\cos^2 \frac{1}{4} = \frac{1 + \cos\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)}{2} = \frac{1 + \cos \frac{1}{2}}{2}$;
3. $\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{1 + \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} — a \right) \right)}{2} = \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)}{2} = \frac{1 + \sin 2a}{2}$;
4. $\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 — \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + a \right) \right)}{2} = \frac{1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2a \right)}{2} = \frac{1 + \sin 2a}{2}$.

1) $\sin^2 15^\circ$

Исходное выражение:

$$\sin^2 15^\circ$$

Цель: представить $\sin^2 15^\circ$ через косинус удвоенного угла.

Шаг 1: Используем формулу понижения степени для синуса

Формула понижения степени для $\sin^2 x$ следующая:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Это классическая формула, которую можно вывести из формулы двойного угла для косинуса:

$$\cos 2x = 1 — 2\sin^2 x \implies \sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Шаг 2: Подставляем $x = 15^\circ$

$$\sin^2 15^\circ = \frac{1 — \cos 2 \cdot 15^\circ}{2} = \frac{1 — \cos 30^\circ}{2}$$

Шаг 3: Значение $\cos 30^\circ$

Из тригонометрии известно:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Итог:

$$\sin^2 15^\circ = \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 — \sqrt{3}}{4}$$

2) $\cos^2 \frac{1}{4}$

Шаг 1: Формула понижения степени для косинуса

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Вытекает из формулы двойного угла:

$$\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1 \implies \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Шаг 2: Подставляем $x = \frac{1}{4}$ (радианы)

$$\cos^2 \frac{1}{4} = \frac{1 + \cos \left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)}{2} = \frac{1 + \cos \frac{1}{2}}{2}$$

Итог:

Выразили $\cos^2 \frac{1}{4}$ через косинус угла $\frac{1}{2}$.

3) $\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)$

Шаг 1: Применяем формулу понижения степени к сложному углу

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Пусть:

$$x = \frac{\pi}{4} — a$$

Тогда:

$$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{1 + \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} — a \right) \right)}{2}$$

Шаг 2: Раскрываем скобки внутри косинуса

$$2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{\pi}{2} — 2a$$

Шаг 3: Подставляем обратно

$$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)}{2}$$

Шаг 4: Используем формулу косинуса разности углов

Известно, что:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right) = \sin \theta$$

Отсюда:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right) = \sin 2a$$

Итог:

$$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{1 + \sin 2a}{2}$$

4) $\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right)$

Шаг 1: Формула понижения степени для синуса

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Пусть:

$$x = \frac{\pi}{4} + a$$

Шаг 2: Подставляем

$$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 — \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + a \right) \right)}{2}$$

Шаг 3: Раскрываем скобки

$$2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{\pi}{2} + 2a$$

Шаг 4: Подставляем обратно

$$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2a \right)}{2}$$

Шаг 5: Используем формулу косинуса суммы с $\frac{\pi}{2}$

Известно:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = -\sin \theta$$

Тогда:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} + 2a \right) = -\sin 2a$$

Шаг 6: Подставляем в выражение

$$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 — (-\sin 2a)}{2} = \frac{1 + \sin 2a}{2}$$