ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 513 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Выразить квадрат синуса (косинуса) заданного угла через косинус угла, в два раза большего:

sin2 15°;
cos2 1/4;
cos2(пи/4 -a);
sin2(пи/4+a).

Краткий ответ:

$\sin^2 15^\circ = \frac{1 — \cos(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{1 — \cos 30^\circ}{2}$ ;
$\cos^2 \frac{1}{4} = \frac{1 + \cos\left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)}{2} = \frac{1 + \cos \frac{1}{2}}{2}$ ;
$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{1 + \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} — a \right) \right)}{2} = \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)}{2} = \frac{1 + \sin 2a}{2}$ ;
$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 — \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + a \right) \right)}{2} = \frac{1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2a \right)}{2} = \frac{1 + \sin 2a}{2}$ .

Подробный ответ:

1) $\sin^2 15^\circ$

Исходное выражение:

$\sin^2 15^\circ$

Цель: представить $\sin^2 15^\circ$ через косинус удвоенного угла.

Шаг 1: Используем формулу понижения степени для синуса

Формула понижения степени для $\sin^2 x$ следующая:

$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$

Это классическая формула, которую можно вывести из формулы двойного угла для косинуса:

$\cos 2x = 1 — 2\sin^2 x \implies \sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$

Шаг 2: Подставляем $x = 15^\circ$

$\sin^2 15^\circ = \frac{1 — \cos 2 \cdot 15^\circ}{2} = \frac{1 — \cos 30^\circ}{2}$

Шаг 3: Значение $\cos 30^\circ$

Из тригонометрии известно:

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Итог:

$\sin^2 15^\circ = \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 — \sqrt{3}}{4}$

2) $\cos^2 \frac{1}{4}$

Шаг 1: Формула понижения степени для косинуса

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

Вытекает из формулы двойного угла:

$\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1 \implies \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

Шаг 2: Подставляем $x = \frac{1}{4}$ (радианы)

$\cos^2 \frac{1}{4} = \frac{1 + \cos \left(2 \cdot \frac{1}{4}\right)}{2} = \frac{1 + \cos \frac{1}{2}}{2}$

Итог:

Выразили $\cos^2 \frac{1}{4}$ через косинус угла $\frac{1}{2}$ .

3) $\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)$

Шаг 1: Применяем формулу понижения степени к сложному углу

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

Пусть:

$x = \frac{\pi}{4} — a$

Тогда:

$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{1 + \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} — a \right) \right)}{2}$

Шаг 2: Раскрываем скобки внутри косинуса

$2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{\pi}{2} — 2a$

Шаг 3: Подставляем обратно

$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)}{2}$

Шаг 4: Используем формулу косинуса разности углов

Известно, что:

$\cos \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right) = \sin \theta$

Отсюда:

$\cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right) = \sin 2a$

Итог:

$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{1 + \sin 2a}{2}$

4) $\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right)$

Шаг 1: Формула понижения степени для синуса

$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$

Пусть:

$x = \frac{\pi}{4} + a$

Шаг 2: Подставляем

$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 — \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + a \right) \right)}{2}$

Шаг 3: Раскрываем скобки

$2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{\pi}{2} + 2a$

Шаг 4: Подставляем обратно

$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2a \right)}{2}$

Шаг 5: Используем формулу косинуса суммы с $\frac{\pi}{2}$

Известно:

$\cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = -\sin \theta$

Тогда:

$\cos \left( \frac{\pi}{2} + 2a \right) = -\sin 2a$

Шаг 6: Подставляем в выражение

$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{1 — (-\sin 2a)}{2} = \frac{1 + \sin 2a}{2}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы