ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 511 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

$$\frac{{\sin }^{2}a}{\cos a(1+\mathrm{ctg}a)}-\frac{{\cos }^{2}a}{\sin a(1+\tan a)}=\frac{2\sqrt{2}\sin (a-\frac{\pi }{4})}{\sin 2a}$$

$$\frac{\sin^2 a}{\cos a (1 + \operatorname{ctg} a)} — \frac{\cos^2 a}{\sin a (1 + \tan a)} = \frac{2\sqrt{2} \sin \left(a — \frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a};$$

1) Левая часть равенства:

$$\frac{\sin^2 a}{\cos a (1 + \operatorname{ctg} a)} — \frac{\cos^2 a}{\sin a (1 + \tan a)} =$$ $$= \frac{\sin^2 a \cdot \sin a}{\cos a \left(1 + \frac{\cos a}{\sin a}\right) \cdot \sin a} — \frac{\cos^2 a \cdot \cos a}{\sin a \left(1 + \frac{\sin a}{\cos a}\right) \cdot \cos a} =$$ $$= \frac{\sin^3 a}{\cos a (\sin a + \cos a) \cdot \sin a} — \frac{\cos^3 a}{\sin a (\sin a + \cos a) \cdot \cos a} =$$ $$= \frac{\sin^3 a \cdot \sin a — \cos^4 a \cdot \cos a}{\cos a \cdot \sin a \cdot (\sin a + \cos a)} = \frac{(\sin^2 a — \cos^2 a)(\sin^2 a + \cos^2 a)(\sin a + \cos a) \cdot 1}{\cos a \cdot \sin a \cdot (\sin a + \cos a)} =$$ $$= \frac{(\sin a — \cos a)(\sin a + \cos a) \cdot 1}{\cos a \cdot \sin a \cdot (\sin a + \cos a)} = \frac{\sin a — \cos a}{\cos a \cdot \sin a};$$

2) Правая часть равенства:

$$\frac{2\sqrt{2} \sin \left(a — \frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \left(\sin a \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a\right)}{\sin 2a} =$$ $$= \frac{2\sqrt{2} \left(\sin a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \cos a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{\sin 2a} = \frac{2 \sin a — 2 \cos a}{2 \sin a \cdot \cos a} = \frac{\sin a — \cos a}{\sin a \cdot \cos a};$$

Обе части сведены к одному выражению — тождество доказано.

Докажем, что

$$\frac{\sin^2 a}{\cos a (1 + \operatorname{ctg} a)} — \frac{\cos^2 a}{\sin a (1 + \tan a)} = \frac{2\sqrt{2} \sin \left(a — \frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a}.$$

1) Работа с левой частью равенства

$$L = \frac{\sin^2 a}{\cos a (1 + \operatorname{ctg} a)} — \frac{\cos^2 a}{\sin a (1 + \tan a)}.$$

Шаг 1.1: Распишем $\operatorname{ctg} a$ и $\tan a$ через синус и косинус.

$$\operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a}, \quad \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}.$$

Тогда

$$1 + \operatorname{ctg} a = 1 + \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\sin a + \cos a}{\sin a},$$ $$1 + \tan a = 1 + \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\cos a + \sin a}{\cos a}.$$

Шаг 1.2: Подставим это в выражение для $L$:

$$L = \frac{\sin^2 a}{\cos a \cdot \frac{\sin a + \cos a}{\sin a}} — \frac{\cos^2 a}{\sin a \cdot \frac{\cos a + \sin a}{\cos a}}.$$

Шаг 1.3: Перепишем дроби, умножив знаменатель:

$$L = \frac{\sin^2 a}{\cos a} \cdot \frac{\sin a}{\sin a + \cos a} — \frac{\cos^2 a}{\sin a} \cdot \frac{\cos a}{\cos a + \sin a}.$$

Шаг 1.4: Заметим, что $\sin a + \cos a = \cos a + \sin a$, значит можно использовать один и тот же знак в обоих слагаемых.

$$L = \frac{\sin^3 a}{\cos a (\sin a + \cos a)} — \frac{\cos^3 a}{\sin a (\sin a + \cos a)}.$$

Шаг 1.5: Приведём дроби к общему знаменателю:

$$L = \frac{\sin^3 a \cdot \sin a — \cos^3 a \cdot \cos a}{\cos a \cdot \sin a \cdot (\sin a + \cos a)}.$$

Обратите внимание, что в числителе умножение $\sin^3 a \cdot \sin a = \sin^4 a$ и $\cos^3 a \cdot \cos a = \cos^4 a$.

Но в исходном выражении из текста изображения в числителе стоит именно $\sin^3 a \cdot \sin a — \cos^4 a \cdot \cos a$, так что:

$$L = \frac{\sin^4 a — \cos^4 a}{\cos a \cdot \sin a \cdot (\sin a + \cos a)}.$$

Шаг 1.6: Используем формулу разности квадратов:

$$\sin^4 a — \cos^4 a = (\sin^2 a)^2 — (\cos^2 a)^2 = (\sin^2 a — \cos^2 a)(\sin^2 a + \cos^2 a).$$

Шаг 1.7: По основному тригонометрическому тождеству

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1,$$

поэтому

$$\sin^4 a — \cos^4 a = (\sin^2 a — \cos^2 a) \cdot 1 = \sin^2 a — \cos^2 a.$$

Шаг 1.8: Теперь $L$ записывается как

$$L = \frac{\sin^2 a — \cos^2 a}{\cos a \cdot \sin a \cdot (\sin a + \cos a)}.$$

Шаг 1.9: Разложим $\sin^2 a — \cos^2 a$ как разность квадратов:

$$\sin^2 a — \cos^2 a = (\sin a — \cos a)(\sin a + \cos a).$$

Шаг 1.10: Подставим в $L$:

$$L = \frac{(\sin a — \cos a)(\sin a + \cos a)}{\cos a \cdot \sin a \cdot (\sin a + \cos a)}.$$

Шаг 1.11: Сократим на $\sin a + \cos a$:

$$L = \frac{\sin a — \cos a}{\cos a \cdot \sin a}.$$

Итог для левой части:

$$\boxed{ L = \frac{\sin a — \cos a}{\sin a \cdot \cos a}. }$$

2) Работа с правой частью равенства

$$R = \frac{2 \sqrt{2} \sin \left(a — \frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a}.$$

Шаг 2.1: Воспользуемся формулой разности синусов:

$$\sin (x — y) = \sin x \cos y — \cos x \sin y.$$

Тогда

$$\sin \left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \sin a \cos \frac{\pi}{4} — \cos a \sin \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2.2: Значения

$$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Подставляем:

$$\sin \left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \sin a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \cos a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin a — \cos a).$$

Шаг 2.3: Подставляем в $R$:

$$R = \frac{2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin a — \cos a)}{\sin 2a}.$$

Шаг 2.4: Упростим числитель:

$$2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2.$$

Шаг 2.5: Теперь

$$R = \frac{2 (\sin a — \cos a)}{\sin 2a}.$$

Шаг 2.6: Используем формулу синуса двойного угла:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a.$$

Подставим:

$$R = \frac{2 (\sin a — \cos a)}{2 \sin a \cos a} = \frac{\sin a — \cos a}{\sin a \cos a}.$$

Итог для правой части:

$$\boxed{ R = \frac{\sin a — \cos a}{\sin a \cdot \cos a}. }$$

3) Итог

Левая и правая части равны:

$$L = R = \frac{\sin a — \cos a}{\sin a \cdot \cos a}.$$

Следовательно, исходное тождество доказано.