ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 50 Алимов — Подробные Ответы

1. (корень 3 * корень 3 степени 9)/корень 6 степени 3;
2. (корень 3 степени 7 * корень 4 степени 343)/корень 12 степени 7;
3. (корень 3 степени 9 * корень 3 степени 6+ корень 3 степени 4)* ((корень 3 степени 3) — корень 3 степени 2).

1. $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}} = \frac{\sqrt[2 \cdot 3]{3^3} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{9^2}}{\sqrt[6]{3}} = \frac{\sqrt[6]{3^3} \cdot \sqrt[6]{(3^2)^2}}{\sqrt[6]{3}} = \sqrt{\frac{3^3 \cdot 3^4}{3}} = \sqrt[6]{3^6} = 3$;
2. $\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}} = \frac{\sqrt[3 \cdot 4]{7^4} \cdot \sqrt[4 \cdot 3]{343^3}}{\sqrt[12]{7}} = \frac{\sqrt[12]{7^4} \cdot \sqrt[12]{(7^3)^3}}{\sqrt[12]{7}} = \sqrt[12]{\frac{7^4 \cdot 7^9}{7}} = \sqrt[12]{7^{12}} = 7$;
3. $(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{2}) =$

$$= \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} =$$ $$= \sqrt[3]{3^2 \cdot 3} — \sqrt[3]{3^2 \cdot 2} + \sqrt[3]{6 \cdot 3} — \sqrt[3]{6 \cdot 2} + \sqrt[3]{4 \cdot 3} — \sqrt[3]{4 \cdot 2} =$$ $$= \sqrt[3]{3^3} — \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{18} — \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{12} — \sqrt[3]{2^3} =$$ $$= \sqrt[3]{3^3} — \sqrt[3]{2^3} = 3 — 2 = 1;$$

Задача 1:

$$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}$$

Шаг 1: Преобразование выражений

• Начнём с преобразования радикалов в дробные показатели:
  • $\sqrt{3} = 3^{1/2}$
  • $\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = (3^2)^{1/3} = 3^{2/3}$
  • $\sqrt[6]{3} = 3^{1/6}$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{3^{1/2} \cdot 3^{2/3}}{3^{1/6}}$$

Шаг 2: Упрощение с использованием свойств степеней

• Мы можем воспользоваться свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя:

$$3^{1/2} \cdot 3^{2/3} = 3^{1/2 + 2/3}$$

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю:

$$1/2 = 3/6, \quad 2/3 = 4/6$$

Таким образом:

$$1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6$$

Теперь числитель равен $3^{7/6}$. Таким образом, выражение теперь выглядит так:

$$\frac{3^{7/6}}{3^{1/6}}$$

Шаг 3: Упрощение дроби

• Применяем свойство степеней для деления: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$3^{7/6 — 1/6} = 3^{6/6} = 3$$

Ответ:

$$3$$

Задача 2:

$$\frac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}$$

Шаг 1: Преобразование выражений

• $\sqrt[3]{7} = 7^{1/3}$
• $\sqrt[4]{343} = 343^{1/4} = (7^3)^{1/4} = 7^{3/4}$
• $\sqrt[12]{7} = 7^{1/12}$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{7^{1/3} \cdot 7^{3/4}}{7^{1/12}}$$

Шаг 2: Упрощение с использованием свойств степеней

• Применяем свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя:

$$7^{1/3} \cdot 7^{3/4} = 7^{1/3 + 3/4}$$

Для сложения дробей приводим их к общему знаменателю:

$$1/3 = 4/12, \quad 3/4 = 9/12$$

Таким образом:

$$1/3 + 3/4 = 4/12 + 9/12 = 13/12$$

Теперь числитель равен $7^{13/12}$, и выражение становится:

$$\frac{7^{13/12}}{7^{1/12}}$$

Шаг 3: Упрощение дроби

• Применяем свойство степеней для деления:

$$7^{13/12 — 1/12} = 7^{12/12} = 7$$

Ответ:

$$7$$

Задача 3:

$$(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{2})$$

Шаг 1: Раскрытие скобок Используем формулу для произведения (a + b + c)(d — e):

$$(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})\; =$$

$$(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}$$

Шаг 2: Преобразование выражений Каждую пару радикалов можно записать как произведение степеней с одинаковым основанием:

• $\sqrt[3]{9} = 3^{2/3}$, $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$, следовательно, $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} = 3^{2/3 + 1/3} = 3^{3/3} = 3$
• $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{2} = 3^{2/3} \cdot 2^{1/3}$
• $\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{3} = 6^{1/3} \cdot 3^{1/3} = (6 \cdot 3)^{1/3} = 18^{1/3}$
• $\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{2} = 6^{1/3} \cdot 2^{1/3} = (6 \cdot 2)^{1/3} = 12^{1/3}$
• $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{3} = 4^{1/3} \cdot 3^{1/3} = (4 \cdot 3)^{1/3} = 12^{1/3}$
• $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = 4^{1/3} \cdot 2^{1/3} = (4 \cdot 2)^{1/3} = 8^{1/3} = 2$

Шаг 3: Упрощение выражений Теперь можно собрать всё вместе:

$$3 — \sqrt[3]{2^3} + \sqrt[3]{18} — \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{12} — 2$$

• $\sqrt[3]{2^3} = 2$
• $\sqrt[3]{18}$ и $\sqrt[3]{12}$ сокращаются друг с другом

Получаем:

$$3 — 2 = 1$$

Ответ:

$$1$$