ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 48 Алимов — Подробные Ответы

1. корень 3 степени 2ab * корень 3 степени 4a2b * корень 3 степени 27;
2. корень 4 степени abс * корень 4 степени a3b2с * корень 4 степени b5c2.

1) ³√(2ab) ⋅ ³√(4a²b) ⋅ ³√(27b) = ³√(2ab ⋅ 4a²b ⋅ 27b) = ³√(8 ⋅ 27 ⋅ a³ ⋅ b³) =
= ³√(8 ⋅ 27) ⋅ ³√(a³) ⋅ ³√(b³) = ³√(2³ ⋅ 3³) ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ 3 ⋅ ab = 6ab;

2) ⁴√(abc) ⋅ ⁴√(a³b²c) ⋅ ⁴√(b⁵c²) = ⁴√(abc ⋅ a³b²c ⋅ b⁵c²) = ⁴√(a⁴ ⋅ b⁸ ⋅ c⁴) = ⁴√(a⁴) ⋅ ⁴√(b⁸) ⋅ ⁴√(c⁴) = a ⋅ b² ⋅ c= ab²c.

1) $\sqrt[3]{2ab} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} \cdot \sqrt[3]{27b}$

Мы имеем произведение нескольких корней третьей степени. Используем свойство, что корни одинакового типа можно перемножать:

$$\sqrt[3]{2ab} \cdot \sqrt[3]{4a^2b} \cdot \sqrt[3]{27b} = \sqrt[3]{2ab \cdot 4a^2b \cdot 27b}$$

Теперь перемножим подкоренные выражения:

$$2ab \cdot 4a^2b \cdot 27b = 2 \cdot 4 \cdot 27 \cdot a \cdot a^2 \cdot b \cdot b \cdot b$$

Упрощаем выражение:

$$2 \cdot 4 \cdot 27 = 8 \cdot 27 = 216$$

Теперь перемножим степени для каждой переменной:

• $a \cdot a^2 = a^3$
• $b \cdot b \cdot b = b^3$

Итак, подкоренное выражение стало:

$$216 \cdot a^3 \cdot b^3$$

Теперь извлекаем корень третьей степени:

$$\sqrt[3]{216 \cdot a^3 \cdot b^3} = \sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^3}$$

• $\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = 2 \cdot 3 = 6$
• $\sqrt[3]{a^3} = a$
• $\sqrt[3]{b^3} = b$

Теперь подставляем полученные значения:

$$6 \cdot a \cdot b = 6ab$$

Ответ: $6ab$.

2) $\sqrt[4]{abc} \cdot \sqrt[4]{a^3b^2c} \cdot \sqrt[4]{b^5c^2}$

Аналогично, используем свойство, что корни одинакового типа можно перемножать:

$$\sqrt[4]{abc} \cdot \sqrt[4]{a^3b^2c} \cdot \sqrt[4]{b^5c^2} = \sqrt[4]{abc \cdot a^3b^2c \cdot b^5c^2}$$

Теперь перемножим подкоренные выражения:

$$abc \cdot a^3b^2c \cdot b^5c^2 = a \cdot a^3 \cdot b \cdot b^2 \cdot b^5 \cdot c \cdot c^2$$

Упрощаем:

• $a \cdot a^3 = a^4$
• $b \cdot b^2 \cdot b^5 = b^8$
• $c \cdot c^2 = c^3$

Таким образом, подкоренное выражение стало:

$$a^4 \cdot b^8 \cdot c^3$$

Теперь извлекаем корень четвертой степени:

$$\sqrt[4]{a^4 \cdot b^8 \cdot c^3} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^8} \cdot \sqrt[4]{c^3}$$

• $\sqrt[4]{a^4} = a$
• $\sqrt[4]{b^8} = b^2$
• $\sqrt[4]{c^3} = c^{3/4}$

Теперь подставляем полученные значения:

$$a \cdot b^2 \cdot c^{3/4}$$

Таким образом, результат:

$$ab^2c^{3/4}$$

Ответ: $ab^2c^{3/4}$.