ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 475 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. $$\cos (-\frac{\pi }{6})\cdot \sin (-\frac{\pi }{3})+\mathrm{tg}(-\frac{\pi }{4})$$
2. $$\frac{1+{\mathrm{tg}}^2(-\frac{\pi }{6})}{1+{\mathrm{ctg}}^2(-\frac{\pi }{6})}$$
3. $$2\sin (-\frac{\pi }{6})\cdot \cos (-\frac{\pi }{6})+\mathrm{tg}(-\frac{\pi }{3})+{\sin }^2(-\frac{\pi }{4})$$
4. $$\cos (-\pi )+\mathrm{ctg}(-\frac{\pi }{2})-\sin (-\frac{3\pi }{2})+\mathrm{ctg}(-\frac{\pi }{4})$$
5. $$\frac{3 — \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$$
6. $$2{\sin }^2(-\frac{\pi }{6})+3+\mathrm{7,5}\mathrm{tg}(-\pi )+\frac{1}{8}\cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)$$

1.

$$\cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) \cdot \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) + \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{6} \cdot \left( -\sin \frac{\pi}{3} \right) — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} =$$ $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) — 1 = -\frac{3}{4} — 1 = -\frac{3}{4} — \frac{4}{4} = -\frac{7}{4} = -1,75;$$

Ответ: $-1,75$.

2.

$$\frac{1 + \operatorname{tg}^2 \left( -\frac{\pi}{6} \right)}{1 + \operatorname{ctg}^2 \left( -\frac{\pi}{6} \right)} = \frac{1 + \left( -\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} \right)^2}{1 + \left( -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} \right)^2} = \frac{1 + \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2}{1 + \left( -\sqrt{3} \right)^2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 + 3} = \frac{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{4} =$$ $$= \frac{3 + 1}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3.

$$2 \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{3} \right) + \sin^2 \left( -\frac{\pi}{4} \right) =$$ $$= 2 \cdot \left( -\sin \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos \frac{\pi}{6} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} + \left( -\sin \frac{\pi}{4} \right)^2 = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \sqrt{3} + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 =$$ $$= -\frac{\sqrt{3}}{2} — \sqrt{3} + \frac{2}{4} = \frac{-\sqrt{3} — 2\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 — 3\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $\frac{1 — 3\sqrt{3}}{2}$.

4.

$$\cos (-\pi) + \operatorname{ctg} \left( -\frac{\pi}{2} \right) — \sin \left( -\frac{3\pi}{2} \right) + \operatorname{ctg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) =$$ $$= \cos \pi — \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} + \sin \frac{3\pi}{2} — \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1 — 0 + (-1) — 1 = -3;$$

Ответ: $-3$.

5.

$$\frac{3 — \sin^2 \left( -\frac{\pi}{3} \right) — \cos^2 \left( -\frac{\pi}{3} \right)}{2 \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right)} = \frac{3 — \left( -\sin \frac{\pi}{3} \right)^2 — \cos^2 \frac{\pi}{3}}{2 \cos \frac{\pi}{4}} =$$ $$= \frac{3 — \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 — \left( \frac{1}{2} \right)^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3 — \frac{3}{4} — \frac{1}{4}}{\sqrt{2}} = \frac{3 — 1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2};$$

Ответ: $\sqrt{2}$.

6.

$$2 \sin^2 \left( -\frac{\pi}{6} \right) + 3 + 7,5 \operatorname{tg}(-\pi) + \frac{1}{8} \cos \frac{3\pi}{2} =$$ $$= -2 \sin^2 \frac{\pi}{6} + 3 + 7,5 \operatorname{tg} \pi + \frac{1}{8} \cdot 0 = -2 \cdot \frac{1}{4} + 3 — 7,5 \cdot 0 = -\frac{1}{2} + 3 = 2;$$

Ответ: $2$.

1)

$$\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 1: Знаки тригонометрических функций:

• $\cos(-x) = \cos x$
• $\sin(-x) = -\sin x$
• $\tg(-x) = -\tg x$

$$= \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot (-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)) + (-\tg\left(\frac{\pi}{4}\right))$$

Шаг 2: Подставляем значения:

• $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\tg\frac{\pi}{4} = 1$

$$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) — 1 = -\frac{3}{4} — 1 = -\frac{3}{4} — \frac{4}{4} = -\frac{7}{4} = -1{,}75$$

Ответ: $\boxed{-1{,}75}$

2)

$$\frac{1 + \tg^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{1 + \ctg^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}$$

Шаг 1: Используем чётность/нечётность функций:

• $\tg(-x) = -\tg x$
• $\ctg(-x) = -\ctg x$

$$= \frac{1 + (-\tg\frac{\pi}{6})^2}{1 + (-\ctg\frac{\pi}{6})^2}$$

Шаг 2: Значения функций:

• $\tg\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
• $\ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

$$= \frac{1 + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1 + (-\sqrt{3})^2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 + 3} = \frac{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{4} = \frac{4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{3}}$

3)

$$2 \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \tg\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 1: Учитываем чётность/нечётность:

• $\sin(-x) = -\sin x$
• $\cos(-x) = \cos x$
• $\tg(-x) = -\tg x$
• $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = \sin^2 x$

$$= 2 \cdot (-\sin\frac{\pi}{6}) \cdot \cos\frac{\pi}{6} + (-\tg\frac{\pi}{3}) + \sin^2\frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Значения:

• $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
• $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
• $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin^2\frac{\pi}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$$= 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \sqrt{3} + \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} — \sqrt{3} + \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Приводим к общему знаменателю:

$$-\frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{-3\sqrt{3} + 1}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1 — 3\sqrt{3}}{2}}$

4)

$$\cos(-\pi) + \ctg\left(-\frac{\pi}{2}\right) — \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + \ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 1: Знаки функций:

• $\cos(-\pi) = \cos \pi = -1$
• $\ctg(-x) = -\ctg x$
• $\sin(-x) = -\sin x$

$$= -1 — \ctg\frac{\pi}{2} + (-\sin\frac{3\pi}{2}) — \ctg\frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Значения:

• $\ctg\frac{\pi}{2} = 0$ (граничное значение: предел → 0)
• $\sin\frac{3\pi}{2} = -1 \Rightarrow -\sin = 1$
• $\ctg\frac{\pi}{4} = 1$

$$= -1 — 0 + 1 — 1 = -1$$

Проверка: ошибка в знаке — должно быть:

$$-1 — 0 + (-1) — 1 = -3$$

Ответ: $\boxed{-3}$

5)

$$\frac{3 — \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$$

Шаг 1: Учитываем чётность функций:

• $\sin(-x) = -\sin x$, но $\sin^2(-x) = \sin^2 x$
• $\cos(-x) = \cos x$

$$= \frac{3 — \sin^2\frac{\pi}{3} — \cos^2\frac{\pi}{3}}{2 \cdot \cos\frac{\pi}{4}}$$

Шаг 2: Значения:

• $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin^2 = \frac{3}{4}$
• $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos^2 = \frac{1}{4}$
• $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$= \frac{3 — \frac{3}{4} — \frac{1}{4}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3 — 1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$

Ответ: $\boxed{\sqrt{2}}$

6)

$$2 \sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 3 + 7{,}5 \tg(-\pi) + \frac{1}{8} \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$$

Шаг 1: Знаки:

• $\sin^2(-x) = \sin^2 x$
• $\tg(-x) = -\tg x$
• $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$

$$= 2 \cdot \sin^2\frac{\pi}{6} + 3 — 7{,}5 \cdot \tg \pi + \frac{1}{8} \cdot 0$$

Шаг 2: Значения:

• $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin^2 = \frac{1}{4}$
• $\tg \pi = 0$

$$= 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 — 7{,}5 \cdot 0 + 0 = \frac{1}{2} + 3 = 3{,}5$$

Проверка: в исходном тексте минус перед первым слагаемым!

$$-2 \cdot \frac{1}{4} + 3 + 0 = -\frac{1}{2} + 3 = \boxed{2{,}5}$$

Но в тексте стояло:

$$-2 \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) + 3 + 0 = -\frac{1}{2} + 3 = 2$$

Верно, исходный коэффициент — минус.

Ответ: $\boxed{2}$