ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 46 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (9+корень 17) * корень (9-корень 17);
2. (корень (3+корень 5) — корень (3-корень 5)2;
3. (корень (5+корень 21) + корень (5-корень 21)2.

1).

$$\sqrt{9 + \sqrt{17} \cdot 9 — \sqrt{17}} = \sqrt{(9 + \sqrt{17})(9 — \sqrt{17})} = \sqrt{9^2 — (\sqrt{17})^2} =$$

$$= \sqrt{81 — 17} = \sqrt{64} = 8;$$

2).

$$\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}} — \sqrt{3 — \sqrt{5}}\right)^2 = (3+\sqrt{5}) — 2\sqrt{3+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 — \sqrt{5}} + (3 — \sqrt{5}) =$$

$$= 3 + \sqrt{5} + 3 — \sqrt{5} — 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} =$$

$$= 6 — 2\sqrt{9 — 5} = 6 — 2\sqrt{4} =$$

$$= 6 — 2 \cdot 2 = 6 — 4 = 2;$$

3).

$$\left( \sqrt{5+\sqrt{21}} + \sqrt{5-\sqrt{21}} \right)^2 = (5+\sqrt{21}) + 2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})} + (5-\sqrt{21}) =$$

$$= 5 + \sqrt{21} + 5 — \sqrt{21} + 2\sqrt{5^2 — (\sqrt{21})^2} =$$

$$= 10 + 2\sqrt{4} = 10 + 2 \cdot 2 = 10 + 4 = 14;$$

1) Выражение:

$\sqrt{(9+\sqrt{17}) \cdot (9 — \sqrt{17})}$

Разбор выражения внутри корня:

$$(9 + \sqrt{17})(9 — \sqrt{17})$$

Эта запись представляет собой разность квадратов:

$$(a — b)(a + b) = a^2 — b^2$$

В нашем случае:

$$a = 9, \quad b = \sqrt{17}$$

Подставляем в формулу:

$$9^2 — (\sqrt{17})^2 = 81 — 17 = 64$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sqrt{64} = 8$$

Ответ: $8$

2) Выражение:

$$\left( \sqrt{3+\sqrt{5}} — \sqrt{3-\sqrt{5}} \right)^2$$

Разворачиваем в квадрат разности:

$$\left( \sqrt{3+\sqrt{5}} — \sqrt{3-\sqrt{5}} \right)^2 = (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 — 2\cdot\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} + (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2$$

Раскрываем скобки:

$$(3+\sqrt{5}) + (3-\sqrt{5}) — 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$$

Преобразуем:

$$3 + \sqrt{5} + 3 — \sqrt{5} — 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$$

$$= (3 + 3) — (\sqrt{5} — \sqrt{5}) — 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$$

Так как разность квадратов:

$$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 3^2 — (\sqrt{5})^2 = 9 — 5 = 4$$

Тогда выражение принимает вид:

$$6 — 2\sqrt{4} = 6 — 2 \cdot 2 = 6 — 4 = 2$$

Ответ: 2.

3) Выражение:

$$\left( \sqrt{5+\sqrt{21}} + \sqrt{5-\sqrt{21}} \right)^2$$

Раскрываем квадрат суммы:

$$(5+\sqrt{21}) + 2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})} + (5-\sqrt{21})$$

Раскрываем скобки:

$$5 + \sqrt{21} + 5 — \sqrt{21} + 2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}$$

Складываем подобные:

$$10 + 2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}$$

Рассчитаем выражение под корнем, используя разность квадратов:

$$(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21}) = 5^2 — (\sqrt{21})^2 = 25 — 21 = 4$$

Тогда:

$$\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})} = \sqrt{4} = 2$$

Подставляем:

$$10 + 2 \times 2 = 10 + 4 = 14$$

Окончательный ответ: 14.