ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 45 Алимов — Подробные Ответы

1. корень 6 степени (2x-3);
2. корень 6 степени (x+3);
3. корень 6 степени (2×2-x-1);
4. корень 4 степени (2-3x/2x-4).

1) Узнаем при каких значениях х имеет смысл выражение:

√6(2x — 3)

Решение

это выражение имеет смысл при 2x — 3 ≥ 0

2x ≥ 3

Отсюда

x ≥ 3/2

Ответ: x ≥ 3/2

2) Узнаем при каких значениях x имеет смысл выражение:

⁴√x + 3

Решение

это выражение имеет смысл при x + 3 ≥ 0

Отсюда

x ≥ -3

Ответ: x ≥ -3

3) Узнаем при каких значениях x имеет смысл выражение:

⁶√2x² — x — 1

Решение

это выражение имеет смысл при 2x² — x — 1 ≥ 0

С помощью Дискриминанта найдём корни уравнения 2x² — x — 1 = 0:

D = 1 + 8 = 9 = 3²

x₁ = (1 + 3) / 4 = 1
x₂ = (1 — 3) / 4 = -0,5

Так как ветви параболы 2x² — x — 1 = 0 направлены вверх и точки пересечения этой параболы с осью абсцисс: (1; 0) и (-0,5; 0), то

2x² — x — 1 ≥ 0 при x ≤ -0,5 и x ≥ 1

Ответ: при x ≤ -0,5 и x ≥ 1

4) Узнаем при каких значениях x имеет смысл выражение:

⁴√(2 — 3x) / (2x — 4)

Решение

это выражение имеет смысл при (2 — 3x) / (2x — 4) ≥ 0.

Что равносильно системе неравенств:

{ 2 — 3x ≥ 0
x — 2 > 0
{ 2 — 3x ≤ 0
x — 2 < 0

Равносильно

{-3x ≥ -2
x > 2
{-3x ≤ -2
x < 2

Равносильно

x ≤ 2/3
2/3 < x < 2

Первая система не имеет действительных решений, значит

2/3 ≤ x < 2

Ответ: 2/3 ≤ x < 2

1) $\sqrt[6]{2x-3}$

Шаг 1: Чтобы выражение $\sqrt[6]{2x-3}$ имело смысл, под корнем должно быть неотрицательное число (так как шестой корень можно извлечь из отрицательного числа, но он будет действительным, если число $2x-3$ является неотрицательным).

Шаг 2: Составляем неравенство:

$$2x-3\ge 0.$$

Решаем его:

$$2x\ge 3\Rightarrow x\ge \frac{3}{2}=\mathrm{1.5.}$$

Ответ: $x\ge 1.5$.

2) $\sqrt[6]{x+3}$

Шаг 1: Чтобы выражение $\sqrt[6]{x+3}$ имело смысл, под корнем должно быть неотрицательное число, то есть $x+3\ge 0$

Шаг 2: Решаем неравенство:

$$x+3\ge 0\Rightarrow x\ge -3.$$

Ответ: $x\ge -3$.

3) $\sqrt[6]{2x^2-x-1}$

Шаг 1: Чтобы выражение $\sqrt[6]{2x^2-x-1}$ имело смысл, под корнем должно быть неотрицательное число:

$$2x^2-x-1\ge 0.$$

Нам нужно решить это неравенство.

Шаг 2: Для решения неравенства $2x^2-x-1\ge 0$, сначала находим корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2-x-1=0$ с помощью дискриминанта.

Вычисляем дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{1-3}{4}=-0.5,x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{1+3}{4}=1.$$

Таким образом, мы имеем факторизацию:

$$2x^2-x-1=(x+0.5)(x-1)\mathrm{.}$$

Шаг 3: Теперь решаем неравенство $(x+0.5)(x-1)\ge 0$, используя метод интервалов:

• Корни $x_1=-0.5$ и $x_2=1$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\mathrm{\infty },-0.5)$, $(-0.5,1)$ и $(1,+\mathrm{\infty })$.
• Мы анализируем знак выражения $(x+0.5)(x-1)$ на этих интервалах:
  • На интервале $(-\mathrm{\infty },-0.5)$ выражение $(x+0.5)(x-1)$ положительно (оба множителя отрицательны).
  • На интервале $(-0.5,1)$ выражение отрицательно (множители разнознаковые).
  • На интервале $(1,+\mathrm{\infty })$ выражение положительно (оба множителя положительны).

Таким образом, решение неравенства:

$$x\le -0.5\text{или}x\ge 1.$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-0.5]\cup [1;+\mathrm{\infty })$.

4) $\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}$

Шаг 1: Чтобы выражение $\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}$ имело смысл, под корнем должна быть неотрицательная величина, то есть:

$$\frac{2-3x}{2x-4}\ge 0.$$

Для того чтобы дробь была неотрицательной, произведение числителя и знаменателя должно быть неотрицательным:

$$(2-3x)(2x-4)\ge 0.$$

Шаг 2: Чтобы решить неравенство $(2-3x)(2x-4)\ge 0$, используем метод интервалов. Сначала находим корни:

• $2-3x=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$,
• $2x-4=0\Rightarrow x=2$.

Таким образом, имеем два корня: $x=\frac{2}{3}$ и $x=2$.

Шаг 3: Теперь решаем неравенство $(2-3x)(2x-4)\ge 0$ с помощью интервалов:

• На интервале $(-\mathrm{\infty },\frac{2}{3})$ произведение отрицательно.
• На интервале $(\frac{2}{3},2)$ произведение положительно.
• На интервале $(2,+\mathrm{\infty })$ произведение отрицательно.

Знак произведения положителен на интервале $[\frac{2}{3},2)$.

Ответ: $x\in [\frac{2}{3};2)$.

Итоговые ответы:

1. $x\ge 1.5$
2. $x\ge -3$
3. $x\in (-\mathrm{\infty };-0.5]\cup [1;+\mathrm{\infty })$
4. $x\in [\frac{2}{3};2)$