ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 45 Алимов — Подробные Ответы

1. корень 6 степени (2x-3);
2. корень 6 степени (x+3);
3. корень 6 степени (2×2-x-1);
4. корень 4 степени (2-3x/2x-4).

1) Узнаем при каких значениях х имеет смысл выражение:

√6(2x — 3)

Решение

это выражение имеет смысл при 2x — 3 ≥ 0

2x ≥ 3

Отсюда

x ≥ 3/2

Ответ: x ≥ 3/2

2) Узнаем при каких значениях x имеет смысл выражение:

⁴√x + 3

Решение

это выражение имеет смысл при x + 3 ≥ 0

Отсюда

x ≥ -3

Ответ: x ≥ -3

3) Узнаем при каких значениях x имеет смысл выражение:

⁶√2x² — x — 1

Решение

это выражение имеет смысл при 2x² — x — 1 ≥ 0

С помощью Дискриминанта найдём корни уравнения 2x² — x — 1 = 0:

D = 1 + 8 = 9 = 3²

x₁ = (1 + 3) / 4 = 1
x₂ = (1 — 3) / 4 = -0,5

Так как ветви параболы 2x² — x — 1 = 0 направлены вверх и точки пересечения этой параболы с осью абсцисс: (1; 0) и (-0,5; 0), то

2x² — x — 1 ≥ 0 при x ≤ -0,5 и x ≥ 1

Ответ: при x ≤ -0,5 и x ≥ 1

4) Узнаем при каких значениях x имеет смысл выражение:

⁴√(2 — 3x) / (2x — 4)

Решение

это выражение имеет смысл при (2 — 3x) / (2x — 4) ≥ 0.

Что равносильно системе неравенств:

{ 2 — 3x ≥ 0
x — 2 > 0
{ 2 — 3x ≤ 0
x — 2 < 0

Равносильно

{-3x ≥ -2
x > 2
{-3x ≤ -2
x < 2

Равносильно

x ≤ 2/3
2/3 < x < 2

Первая система не имеет действительных решений, значит

2/3 ≤ x < 2

Ответ: 2/3 ≤ x < 2

1) $\sqrt[6]{2x — 3}$

Шаг 1: Чтобы выражение $\sqrt[6]{2x — 3}$ имело смысл, под корнем должно быть неотрицательное число (так как шестой корень можно извлечь из отрицательного числа, но он будет действительным, если число $2x — 3$ является неотрицательным).

Шаг 2: Составляем неравенство:

$$2x — 3 \geq 0.$$

Решаем его:

$$2x \geq 3 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{3}{2} = 1.5.$$

Ответ: $x \geq 1.5$.

2) $\sqrt[6]{x + 3}$

Шаг 1: Чтобы выражение $\sqrt[6]{x + 3}$ имело смысл, под корнем должно быть неотрицательное число, то есть $x + 3 \geq 0$

Шаг 2: Решаем неравенство:

$$x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3.$$

Ответ: $x \geq -3$.

3) $\sqrt[6]{2x^2 — x — 1}$

Шаг 1: Чтобы выражение $\sqrt[6]{2x^2 — x — 1}$ имело смысл, под корнем должно быть неотрицательное число:

$$2x^2 — x — 1 \geq 0.$$

Нам нужно решить это неравенство.

Шаг 2: Для решения неравенства $2x^2 — x — 1 \geq 0$, сначала находим корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 — x — 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = -0.5, \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1.$$

Таким образом, мы имеем факторизацию:

$$2x^2 — x — 1 = (x + 0.5)(x — 1).$$

Шаг 3: Теперь решаем неравенство $(x + 0.5)(x — 1) \geq 0$, используя метод интервалов:

• Корни $x_1 = -0.5$ и $x_2 = 1$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -0.5)$, $(-0.5, 1)$ и $(1, +\infty)$.
• Мы анализируем знак выражения $(x + 0.5)(x — 1)$ на этих интервалах:
  • На интервале $(-\infty, -0.5)$ выражение $(x + 0.5)(x — 1)$ положительно (оба множителя отрицательны).
  • На интервале $(-0.5, 1)$ выражение отрицательно (множители разнознаковые).
  • На интервале $(1, +\infty)$ выражение положительно (оба множителя положительны).

Таким образом, решение неравенства:

$$x \leq -0.5 \quad \text{или} \quad x \geq 1.$$

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5] \cup [1; +\infty)$.

4) $\sqrt[4]{\frac{2 — 3x}{2x — 4}}$

Шаг 1: Чтобы выражение $\sqrt[4]{\frac{2 — 3x}{2x — 4}}$ имело смысл, под корнем должна быть неотрицательная величина, то есть:

$$\frac{2 — 3x}{2x — 4} \geq 0.$$

Для того чтобы дробь была неотрицательной, произведение числителя и знаменателя должно быть неотрицательным:

$$(2 — 3x)(2x — 4) \geq 0.$$

Шаг 2: Чтобы решить неравенство $(2 — 3x)(2x — 4) \geq 0$, используем метод интервалов. Сначала находим корни:

• $2 — 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$,
• $2x — 4 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Таким образом, имеем два корня: $x = \frac{2}{3}$ и $x = 2$.

Шаг 3: Теперь решаем неравенство $(2 — 3x)(2x — 4) \geq 0$ с помощью интервалов:

• На интервале $(-\infty, \frac{2}{3})$ произведение отрицательно.
• На интервале $(\frac{2}{3}, 2)$ произведение положительно.
• На интервале $(2, +\infty)$ произведение отрицательно.

Знак произведения положителен на интервале $\left[\frac{2}{3}, 2\right)$.

Ответ: $x \in \left[\frac{2}{3}; 2\right)$.

Итоговые ответы:

1. $x \geq 1.5$
2. $x \geq -3$
3. $x \in (-\infty; -0.5] \cup [1; +\infty)$
4. $x \in \left[\frac{2}{3}; 2\right)$