ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 42 Алимов — Подробные Ответы

1. ( корень 6 степени 7^3)2;
2. ( корень 6 степени 9)^-3;
3. ( корень 10 степени 32)2;
4. ( корень 8 степени 16)^-4.

1. $(\sqrt[6]{73})^2 = \sqrt[6]{(73)^2} = \sqrt[6]{76} = 7;$
2. $(\sqrt[6]{9})^{-3} = \sqrt[6]{9^{-3}} = \sqrt[6]{(3^2)^{-3}} = \sqrt[6]{3^{-6}} = \sqrt[6]{\left(\frac{1}{3}\right)^6} = \frac{1}{3};$
3. $(\sqrt[10]{32})^2 = \sqrt[10]{32^2} = \sqrt[10]{(2^5)^2} = \sqrt[10]{2^{10}} = 2;$
4. $(\sqrt[8]{16})^{-4} = \sqrt[8]{16^{-4}} = \sqrt[8]{(4^2)^{-4}} = \sqrt[8]{4^{-8}} = \sqrt[8]{\left(\frac{1}{4}\right)^8} = \frac{1}{4}.$

1) $(\sqrt[6]{7^3})^2$

Здесь у нас корень шестой степени и возведение в квадрат.
Шаг 1: Воспользуемся свойством радикалов:

$$(\sqrt[n]{a^m})^k = \sqrt[n]{a^{m \cdot k}}$$

Применяем его:

$$(\sqrt[6]{7^3})^2 = \sqrt[6]{(7^3)^2}$$

Шаг 2: Перемножаем показатели степени:

$$\sqrt[6]{7^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{7^6}$$

Шаг 3: Так как степень под корнем совпадает со знаменателем корня, получаем:

$$\sqrt[6]{7^6} = 7^{6/6} = 7^1 = 7$$

Ответ: 7

2) $(\sqrt[6]{9})^{-3}$

Здесь у нас радикал и отрицательная степень.

Шаг 1: Записываем корень в показательной форме:

$$\sqrt[6]{9} = 9^{1/6}$$

Тогда выражение примет вид:

$$(9^{1/6})^{-3}$$

Шаг 2: Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$9^{(1/6) \cdot (-3)} = 9^{-3/6}$$

Шаг 3: Сокращаем дробь в показателе степени:

$$9^{-1/2}$$

Шаг 4: Представляем 9 как $3^2$:

$$(3^2)^{-1/2}$$

Шаг 5: Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$3^{2 \cdot (-1/2)} = 3^{-1}$$

Шаг 6: Преобразуем отрицательную степень:

$$\frac{1}{3}$$

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) $(\sqrt[10]{32})^2$

Шаг 1: Записываем корень в показательной форме:

$$\sqrt[10]{32} = 32^{1/10}$$

Тогда выражение примет вид:

$$(32^{1/10})^2$$

Шаг 2: Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$32^{(1/10) \cdot 2} = 32^{2/10}$$

Шаг 3: Сокращаем дробь:

$$32^{1/5}$$

Шаг 4: Представляем 32 как $2^5$:

$$(2^5)^{1/5}$$

Шаг 5: Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$2^{5/5} = 2^1 = 2$$

Ответ: 2

4) $(\sqrt[8]{16})^{-4}$

Шаг 1: Записываем корень в показательной форме:

$$\sqrt[8]{16} = 16^{1/8}$$

Тогда выражение примет вид:

$$(16^{1/8})^{-4}$$

Шаг 2: Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$16^{(1/8) \cdot (-4)} = 16^{-4/8}$$

Шаг 3: Сокращаем дробь:

$$16^{-1/2}$$

Шаг 4: Представляем 16 как $4^2$:

$$(4^2)^{-1/2}$$

Шаг 5: Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$4^{2 \cdot (-1/2)} = 4^{-1}$$

Шаг 6: Преобразуем отрицательную степень:

$$\frac{1}{4}$$

Ответ: $\frac{1}{4}$