ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 415 Алимов — Подробные Ответы

Заполнить таблицу:

Первый столбец:

$$a = 30^\circ = \frac{\pi \cdot 30}{180} = \frac{\pi}{6};$$ $$l = aR = \frac{\pi}{6} \cdot 2 = \frac{\pi}{3};$$ $$S = \frac{R^2}{2} \cdot a = \frac{2^2 \cdot \pi}{2 \cdot 6} = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3};$$

Второй столбец:

$$a = \frac{\pi}{5} = \left( \frac{180 \cdot \pi}{\pi \cdot 5} \right)^\circ = 36^\circ;$$ $$l = aR \quad \Rightarrow \quad R = \frac{l}{a} = 2 : \frac{\pi}{5} = 2 \cdot \frac{5}{\pi} = \frac{10}{\pi};$$ $$S = \frac{R^2}{2} \cdot a = \left( \frac{10}{\pi} \right)^2 : 2 \cdot \frac{\pi}{5} = \frac{100}{\pi^2} \cdot \frac{\pi}{5} = \frac{10}{\pi};$$

Третий столбец:

$$l = aR \quad \Rightarrow \quad a = \frac{l}{R} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2};$$ $$a = \left( \frac{180 \cdot 1}{\pi \cdot 2} \right)^\circ = \left( \frac{90}{\pi} \right)^\circ;$$ $$S = \frac{R^2}{2} \cdot a = \frac{10^2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{100}{4} = 25;$$

Четвертый столбец:

$$S = \frac{R^2}{2} \cdot a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2S}{R^2} = \frac{2 \cdot 50}{5^2} = \frac{100}{25} = 4;$$ $$a = \left( \frac{180 \cdot 4}{\pi} \right)^\circ = \left( \frac{720}{\pi} \right)^\circ;$$ $$l = aR = 4 \cdot 5 = 20;$$

Пятый столбец:

$$a = \left( \frac{180 \cdot 2}{\pi} \right)^\circ = \left( \frac{360}{\pi} \right)^\circ;$$ $$S = \frac{R^2}{2} \cdot a \quad \Rightarrow \quad R = \sqrt{\frac{2S}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2}} = \sqrt{25} = 5;$$ $$l = aR = 2 \cdot 5 = 10;$$

Шестой столбец:

$$l = aR \quad \Rightarrow \quad R = \frac{l}{a};$$ $$S = \frac{R^2}{2} \cdot a = \frac{l^2}{2a^2} \cdot a = \frac{l^2}{2a} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2S}{l^2} = \frac{2 \cdot 50}{10^2} = 1;$$ $$a = \left( \frac{180}{\pi} \right)^\circ;$$ $$R=10$$

Теоретические формулы:

Перевод градусов в радианы:

$$a = \frac{\pi}{180} \times \text{угол в градусах}$$

Перевод радиан в градусы:

$$\text{угол в градусах} = \frac{180}{\pi} \times a$$

Длина дуги:

$$l = a \times R$$

Площадь сектора:

$$S = \frac{1}{2} R^2 a$$

Рассчитаем все значения подробно по каждому столбцу.

Первый столбец: угол 30°

Перевод в радианы:

$$a = \frac{\pi}{180} \times 30 = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$$

Радиус задан: $R = 2$ см.

Длина дуги:

$$l = a \times R = \frac{\pi}{6} \times 2 = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

Площадь сектора:

$$S = \frac{1}{2} \times R^2 \times a = \frac{1}{2} \times 2^2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\pi}{6} = 2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

Второй столбец: угол 36°

Угол в радианах:

$$a = \frac{\pi}{180} \times 36 = \frac{36\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$$

Длина дуги задана $l = 2$ см, найдем радиус $R$:

$$l = a \times R \implies R = \frac{l}{a} = \frac{2}{\pi/5} = 2 \times \frac{5}{\pi} = \frac{10}{\pi}$$

Площадь сектора:

$$S = \frac{1}{2} R^2 a = \frac{1}{2} \times \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 \times \frac{\pi}{5} = \frac{1}{2} \times \frac{100}{\pi^2} \times \frac{\pi}{5} = \frac{100}{2 \times 5 \times \pi} = \frac{10}{\pi}$$

Третий столбец: угол $\frac{90}{\pi}$°

Угол задан в градусах, нужно найти радианы:

$$a = \frac{\pi}{180} \times \frac{90}{\pi} = \frac{90}{180} = \frac{1}{2}$$

(Умножаем градусы на $\pi/180$, $\pi$ сокращается)

Радиус задан: $R = 10$ см.

Длина дуги:

$$l = a \times R = \frac{1}{2} \times 10 = 5$$

Площадь сектора:

$$S = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{1}{2} = \frac{100}{4} = 25$$

Четвертый столбец: угол $\frac{720}{\pi}$°

Угол задан в градусах, найдем радианы $a$ через площадь и радиус.

Площадь задана: $S = 50$, радиус $R = 5$.

Формула площади сектора:

$$S = \frac{1}{2} R^2 a \implies a = \frac{2S}{R^2} = \frac{2 \times 50}{5^2} = \frac{100}{25} = 4$$

Переводим радианы в градусы:

$$\text{угол в градусах} = \frac{180}{\pi} \times 4 = \frac{720}{\pi}$$

Длина дуги:

$$l = a \times R = 4 \times 5 = 20$$

Пятый столбец: угол $\frac{360}{\pi}$°

Угол в радианах $a = 2$ (из таблицы).

Площадь задана $S = 25$, найдем радиус $R$:

$$S = \frac{1}{2} R^2 a \implies R = \sqrt{\frac{2S}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 25}{2}} = \sqrt{25} = 5$$

Переводим угол в градусы:

$$\text{угол в градусах} = \frac{180}{\pi} \times 2 = \frac{360}{\pi}$$

Длина дуги:

$$l = a \times R = 2 \times 5 = 10$$

Шестой столбец: угол $\frac{180}{\pi}$°

Длина дуги $l = 10$, площадь $S = 50$, нужно найти радиус и угол.

Сначала найдём угол $a$:

Формула площади:

$$S = \frac{1}{2} R^2 a$$

Но длина дуги:

$$l = a \times R \implies R = \frac{l}{a}$$

Подставим в формулу площади:

$$S = \frac{1}{2} \left( \frac{l}{a} \right)^2 \times a = \frac{1}{2} \times \frac{l^2}{a^2} \times a = \frac{l^2}{2a}$$

Отсюда:

$$a = \frac{l^2}{2S} = \frac{10^2}{2 \times 50} = \frac{100}{100} = 1$$

Переводим угол в градусы:

$$\text{угол в градусах} = \frac{180}{\pi} \times 1 = \frac{180}{\pi}$$

Радиус:

$$R = \frac{l}{a} = \frac{10}{1} = 10$$

Итоговая таблица: