ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 405 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение

Решить уравнение:

$$\log_{2} x \cdot \log_{2}(x-3) + 1 = \log_{2}(x^{2}-3x);$$ $$\log_{2} x \cdot \log_{2}(x-3) = \log_{2}(x \cdot (x-3)) — 1;$$ $$\log_{2} x \cdot \log_{2}(x-3) = \log_{2} x + \log_{2}(x-3) — 1;$$ $$\log_{2} x \cdot (\log_{2}(x-3) — 1) = \log_{2}(x-3) — 1;$$ $$(\log_{2} x — 1)(\log_{2}(x-3) — 1) = 0;$$

Первое значение:

$$\log_{2} x — 1 = 0;$$ $$\log_{2} x = 1;$$ $$\log_{2} x = \log_{2} 2, \text{отсюда } x = 2;$$

Второе значение:

$$\log_{2}(x-3) — 1 = 0;$$ $$\log_{2}(x-3) = 1;$$ $$\log_{2}(x-3) = \log_{2} 2;$$ $$x — 3 = 2, \text{отсюда } x = 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$ $$x — 3 > 0, \text{отсюда } x > 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^{2} — 3x > 0;$$ $$x(x-3) > 0;$$ $$x < 0 \text{ и } x > 3;$$

Ответ: $x = 5$.

Дано уравнение:

$$\log_{2} x \cdot \log_{2}(x-3) + 1 = \log_{2}(x^{2} — 3x);$$

Шаг 1. Область определения (ОДЗ)

Перед началом решения нужно определить, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл, то есть где определены все логарифмы.

• Логарифм $\log_2 x$ определён при $x > 0$.
• Логарифм $\log_2 (x-3)$ определён при $x — 3 > 0 \implies x > 3$.
• Логарифм $\log_2 (x^{2} — 3x)$ определён при $x^{2} — 3x > 0$.

Рассмотрим неравенство для аргумента последнего логарифма:

$$x^{2} — 3x > 0 \implies x(x — 3) > 0.$$

Известно, что произведение двух чисел положительно, если оба положительны или оба отрицательны:

• $x > 0$ и $x — 3 > 0 \implies x > 3$;
• или $x < 0$ и $x — 3 < 0 \implies x < 0$.

Но из первых двух условий для логарифмов уже требовалось $x > 0$ и $x > 3$, следовательно, область определения будет:

$$x > 3.$$

Шаг 2. Перепишем уравнение для удобства

Имеем:

$$\log_{2} x \cdot \log_{2}(x-3) + 1 = \log_{2}(x^{2} — 3x).$$

Заметим, что

$$x^{2} — 3x = x(x — 3),$$

поэтому

$$\log_{2}(x^{2} — 3x) = \log_{2} [x(x-3)] = \log_{2} x + \log_{2} (x-3).$$

Подставим это в уравнение:

$$\log_{2} x \cdot \log_{2}(x-3) + 1 = \log_{2} x + \log_{2}(x-3).$$

Шаг 3. Переносим все в одну сторону

Переносим правую часть в левую:

$$\log_{2} x \cdot \log_{2}(x-3) + 1 — \log_{2} x — \log_{2}(x-3) = 0.$$

Группируем слагаемые:

$$\log_{2} x \cdot \log_{2}(x-3) — \log_{2} x — \log_{2}(x-3) + 1 = 0.$$

Шаг 4. Вводим обозначения

Обозначим:

$$a = \log_{2} x, \quad b = \log_{2} (x — 3).$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$ab — a — b + 1 = 0.$$

Шаг 5. Преобразование уравнения

Перепишем уравнение так:

$$ab — a — b + 1 = (a b — a) — b + 1 = a(b — 1) — b + 1 = 0.$$

Или:

$$a(b — 1) = b — 1.$$

Шаг 6. Решение уравнения

Если $b — 1 \neq 0$, можно поделить обе части на $b — 1$:

$$a = 1.$$

Если $b — 1 = 0$, то:

$$b = 1.$$

Таким образом, уравнение эквивалентно:

$$(a — 1)(b — 1) = 0,$$

то есть либо

$$a = 1,$$

либо

$$b = 1.$$

Шаг 7. Подставляем обратно

• Если $a = \log_{2} x = 1$, то

$$x = 2^{1} = 2.$$

• Если $b = \log_{2} (x — 3) = 1$, то

$$x — 3 = 2^{1} = 2 \implies x = 5.$$

Шаг 8. Проверка значений на область определения

• При $x = 2$ проверяем условия области определения: $x > 3$ — нет, 2 не больше 3, значит $x=2$ не подходит.
• При $x = 5$ проверяем: $5 > 3$ — да, подходит.

Шаг 9. Ответ

Единственное решение уравнения, удовлетворяющее области определения:

$$\boxed{x = 5}.$$