ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 293 Алимов — Подробные Ответы

1. log8(12) — log8(5) + log8(20);
2. log9(15) + log9(18) — log9(10);
3. 1/2log7(36) — log7(14) — 3log7(корень 3 степени 21);
4. 2log1/3(6) — 1/2log1/3(400) + 3log1/3( корень 3 степени 45).

${\mathrm{1.\; log}}_{8}12-{\log }_{8}15+{\log }_{8}20={\log }_8\frac{12\cdot 20}{15}={\log }_{8}16={\log }_8(8\cdot 2)={\log }_{8}8+{\log }_{8}2=$

$\log_8 12 — \log_8 15 + \log_8 20 = \log_8 \frac{12 \cdot 20}{15} = \log_8 16 = \log_8 (8 \cdot 2) = \log_8 8 + \log_8 2 = 1 + \log_8 (2^3)^{\frac{1}{3}} = 1 + \log_8 8^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} = 1 \frac{1}{3}$

${\mathrm{2.\; log}}_{9}15+{\log }_{9}18-{\log }_{9}10={\log }_9\frac{15\cdot 18}{10}={\log }_{9}27={\log }_9(9\cdot 3)={\log }_{9}9+{\log }_{9}3=$

$\log_9 15 + \log_9 18 — \log_9 10 = \log_9 \frac{15 \cdot 18}{10} = \log_9 27 = \log_9 (9 \cdot 3) = \log_9 9 + \log_9 3 = 1 + \log_9 (3^2)^{\frac{1}{2}} = 1 + \log_9 9^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$

3. $\frac{1}{2}{\log }_{7}36-{\log }_{7}14-3{\log }_7\sqrt[3]{21}={\log }_7{36}^{\frac{1}{2}}-{\log }_{7}14-{\log }_7{\left({21}^{\frac{1}{3}}\right)}^3=$

$\frac{1}{2} \log_7 36 — \log_7 14 — 3 \log_7 \sqrt[3]{21} = \log_7 36^{\frac{1}{2}} — \log_7 14 — \log_7 \left( 21^{\frac{1}{3}} \right)^3 = \log_7 6 — \log_7 14 — \log_7 21 = \log_7 \frac{6}{14 \cdot 21} = \log_7 \frac{1}{49} = \log_7 7^{-2} = -2$

$\mathrm{4.\; 2}{\log }_{\frac{1}{3}}6-\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{3}}400+3{\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt[3]{45}={\log }_{\frac{1}{3}}{6}^2-{\log }_{\frac{1}{3}}{400}^{\frac{1}{2}}+{\log }_{\frac{1}{3}}(\sqrt[3]{45}{)}^3=$

$2 \log_{\frac{1}{3}} 6 — \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 400 + 3 \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45} = \log_{\frac{1}{3}} 6^2 — \log_{\frac{1}{3}} 400^{\frac{1}{2}} + \log_{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{45})^3 = \log_{\frac{1}{3}} 36 — \log_{\frac{1}{3}} 20 + \log_{\frac{1}{3}} 45 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{36 \cdot 45}{20} = \log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{\frac{1}{3}} 3^4 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-4} = -4$

1) $\log_8 12 — \log_8 15 + \log_8 20$

Шаг 1. Применяем свойства логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$$ $$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$

Используем эти свойства:

$$\log_8 12 — \log_8 15 + \log_8 20 = \log_8 \frac{12}{15} + \log_8 20$$

Шаг 2. Применяем правило сложения логарифмов:

$$\log_8 \frac{12}{15} + \log_8 20 = \log_8 \left( \frac{12}{15} \cdot 20 \right)$$

Шаг 3. Упрощаем дробь и произведение:

$$\frac{12}{15} \cdot 20 = \frac{12 \cdot 20}{15} = \frac{240}{15} = 16$$

Шаг 4. Получаем:

$$\log_8 16$$

Шаг 5. Представим число 16 через степени 8:

$$16 = 8 \cdot 2$$

Тогда:

$$\log_8 16 = \log_8 (8 \cdot 2) = \log_8 8 + \log_8 2$$

Шаг 6. Известно, что $\log_a a = 1$, значит:

$$\log_8 8 = 1$$

Шаг 7. Осталось посчитать $\log_8 2$. Запишем 2 как степень числа 8:

$$8 = 2^3 \implies 2 = 8^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 8. Тогда:

$$\log_8 2 = \log_8 8^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$$

Шаг 9. Складываем:

$$1 + \frac{1}{3} = 1 \frac{1}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{1 \frac{1}{3}}$$

2) $\log_9 15 + \log_9 18 — \log_9 10$

Шаг 1. Сначала сложим два логарифма:

$$\log_9 15 + \log_9 18 = \log_9 (15 \cdot 18)$$

Шаг 2. Теперь вычтем $\log_9 10$:

$$\log_9 (15 \cdot 18) — \log_9 10 = \log_9 \frac{15 \cdot 18}{10}$$

Шаг 3. Упрощаем дробь:

$$\frac{15 \cdot 18}{10} = \frac{270}{10} = 27$$

Шаг 4. Значит выражение равно:

$$\log_9 27$$

Шаг 5. Представим 27 как произведение степеней 9 и 3:

$$27 = 9 \cdot 3$$

Тогда:

$$\log_9 27 = \log_9 (9 \cdot 3) = \log_9 9 + \log_9 3$$

Шаг 6. Известно, что:

$$\log_9 9 = 1$$

Шаг 7. Теперь посчитаем $\log_9 3$. Представим 3 через 9:

$$9 = 3^2 \implies 3 = 9^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 8. Значит:

$$\log_9 3 = \log_9 9^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$$

Шаг 9. Складываем:

$$1 + \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{1 \frac{1}{2}}$$

3) $\frac{1}{2} \log_7 36 — \log_7 14 — 3 \log_7 \sqrt[3]{21}$

Шаг 1. Используем свойство логарифма степени:

$$c \log_a b = \log_a b^c$$

Тогда:

$$\frac{1}{2} \log_7 36 = \log_7 36^{\frac{1}{2}} = \log_7 \sqrt{36} = \log_7 6$$

Шаг 2. Аналогично:

$$3 \log_7 \sqrt[3]{21} = \log_7 \left( \sqrt[3]{21} \right)^3 = \log_7 21$$

Шаг 3. Подставляем в выражение:

$$\log_7 6 — \log_7 14 — \log_7 21$$

Шаг 4. Сначала объединим вычитания:

$$\log_7 6 — \log_7 (14 \cdot 21) = \log_7 \frac{6}{14 \cdot 21}$$

Шаг 5. Умножаем в знаменателе:

$$14 \cdot 21 = 294$$

Шаг 6. Записываем дробь:

$$\frac{6}{294} = \frac{6}{14 \cdot 21} = \frac{6}{294} = \frac{1}{49}$$

(Потому что $294 \div 6 = 49$)

Шаг 7. Значит выражение равно:

$$\log_7 \frac{1}{49}$$

Шаг 8. Запишем 49 как степень 7:

$$49 = 7^2$$

Тогда:

$$\frac{1}{49} = 7^{-2}$$

Шаг 9. Применяем свойство:

$$\log_7 7^{-2} = -2$$

Ответ:

$$\boxed{-2}$$

4) $2 \log_{\frac{1}{3}} 6 — \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 400 + 3 \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{45}$

Шаг 1. Применяем свойство степени логарифма:

$$c \log_a b = \log_a b^c$$

Получаем:

$$\log_{\frac{1}{3}} 6^2 — \log_{\frac{1}{3}} 400^{\frac{1}{2}} + \log_{\frac{1}{3}} \left(\sqrt[3]{45}\right)^3$$

Шаг 2. Вычисляем степени:

$$6^2 = 36, \quad 400^{\frac{1}{2}} = \sqrt{400} = 20, \quad \left(\sqrt[3]{45}\right)^3 = 45$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\log_{\frac{1}{3}} 36 — \log_{\frac{1}{3}} 20 + \log_{\frac{1}{3}} 45$$

Шаг 4. Складываем и вычитаем логарифмы:

$$\log_{\frac{1}{3}} \frac{36 \cdot 45}{20}$$

Шаг 5. Умножаем числитель:

$$36 \cdot 45 = 1620$$

Шаг 6. Делим:

$$\frac{1620}{20} = 81$$

Шаг 7. Записываем:

$$\log_{\frac{1}{3}} 81$$

Шаг 8. Представляем 81 через 3:

$$81 = 3^4$$

Шаг 9. Записываем основание логарифма через 3:

$$\frac{1}{3} = 3^{-1}$$

Шаг 10. Выражаем логарифм в терминах $\frac{1}{3}$:

$$\log_{\frac{1}{3}} 3^4 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$$

Шаг 11. По определению:

$$\log_a a^k = k$$

Значит:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-4} = -4$$

Ответ:

$$\boxed{-4}$$