ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 280 Алимов — Подробные Ответы

1. 9^(2log3(5));
2. (1/9)^(1/2log3(4));
3. (1/4)^(-5log2(3));
4. 27^(-log1/3(5));
5. 10^(3-log10(5));
6. (1/7)^(1+2log1/7(3)).

1. $9^{2 \log_{3} 5} = (3^{2})^{2 \log_{3} 5} = 3^{4 \log_{3} 5} = (3^{\log_{3} 5})^{4} = 5^{4} = 625$;
2. $\left( \frac{1}{9} \right)^{\frac{1}{2} \log_{3} 4} = (3^{-2})^{\frac{1}{2} \log_{3} 4} = 3^{-\log_{3} 4} = (3^{\log_{3} 4})^{-1} = 4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25$;
3. $\left( \frac{1}{4} \right)^{-5 \log_{2} 3} = (2^{-2})^{-5 \log_{2} 3} = 2^{10 \log_{2} 3} = (2^{\log_{2} 3})^{10} = 3^{10} = 59049$;
4. $27^{-4 \log_{\frac{1}{3}} 5} = (3^{3})^{-4 \log_{\frac{1}{3}} 5} = 3^{-12 \log_{\frac{1}{3}} 5} = \left( \frac{1}{3} \right)^{12 \log_{\frac{1}{3}} 5} = \left( \left( \frac{1}{3} \right)^{\log_{\frac{1}{3}} 5} \right)^{12} = 5^{12}$;
5. $10^{3 — \log_{10} 5} = \frac{10^{3}}{10^{\log_{10} 5}} = \frac{1000}{5} = 200$;
6. $\left( \frac{1}{7} \right)^{1 + 2 \log_{\frac{1}{7}} 3} = \frac{1}{7} \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{2 \log_{\frac{1}{7}} 3} = \frac{1}{7} \cdot \left( \left( \frac{1}{7} \right)^{\log_{\frac{1}{7}} 3} \right)^{2} = \frac{1}{7} \cdot 3^{2} = \frac{1}{7} \cdot 9 = \frac{9}{7} = 1 \frac{2}{7}$;

1) $9^{2 \log_{3} 5}$

Шаг 1: Перепишем 9 как степень 3.

$$9 = 3^2$$

Тогда:

$$9^{2 \log_{3} 5} = (3^2)^{2 \log_{3} 5}$$

Шаг 2: Используем правило степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$$(3^2)^{2 \log_{3} 5} = 3^{4 \log_{3} 5}$$

Шаг 3: Используем свойство логарифмов $\log_b a^x = x \cdot \log_b a$.

$$3^{4 \log_{3} 5} = (3^{\log_{3} 5})^4$$

Шаг 4: Используем определение логарифма $\log_b a = x \Rightarrow b^x = a$.

$$3^{\log_{3} 5} = 5$$

Тогда:

$$(3^{\log_{3} 5})^4 = 5^4 = 625$$

Ответ: $625$

2) $\left( \frac{1}{9} \right)^{\frac{1}{2} \log_{3} 4}$

Шаг 1: Перепишем $\frac{1}{9}$ как $3^{-2}$.

$$\frac{1}{9} = 3^{-2}$$

Тогда:

$$\left( \frac{1}{9} \right)^{\frac{1}{2} \log_{3} 4} = (3^{-2})^{\frac{1}{2} \log_{3} 4}$$

Шаг 2: Используем правило степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$$(3^{-2})^{\frac{1}{2} \log_{3} 4} = 3^{-\log_{3} 4}$$

Шаг 3: Используем свойство логарифмов $\log_b a^x = x \cdot \log_b a$.

$$3^{-\log_{3} 4} = (3^{\log_{3} 4})^{-1}$$

Шаг 4: Применяем определение логарифма $\log_b a = x \Rightarrow b^x = a$.

$$3^{\log_{3} 4} = 4$$

Таким образом:

$$(3^{\log_{3} 4})^{-1} = 4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25$$

Ответ: $0,25$

3) $\left( \frac{1}{4} \right)^{-5 \log_{2} 3}$

Шаг 1: Перепишем $\frac{1}{4}$ как $2^{-2}$.

$$\frac{1}{4} = 2^{-2}$$

Тогда:

$$\left( \frac{1}{4} \right)^{-5 \log_{2} 3} = (2^{-2})^{-5 \log_{2} 3}$$

Шаг 2: Используем правило степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$$(2^{-2})^{-5 \log_{2} 3} = 2^{10 \log_{2} 3}$$

Шаг 3: Используем свойство логарифмов $\log_b a^x = x \cdot \log_b a$.

$$2^{10 \log_{2} 3} = (2^{\log_{2} 3})^{10}$$

Шаг 4: Применяем определение логарифма $\log_b a = x \Rightarrow b^x = a$.

$$2^{\log_{2} 3} = 3$$

Таким образом:

$$(2^{\log_{2} 3})^{10} = 3^{10} = 59049$$

Ответ: $59049$

4) $27^{-4 \log_{\frac{1}{3}} 5}$

Шаг 1: Перепишем 27 как степень 3.

$$27 = 3^3$$

Тогда:

$$27^{-4 \log_{\frac{1}{3}} 5} = (3^3)^{-4 \log_{\frac{1}{3}} 5}$$

Шаг 2: Используем правило степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$$(3^3)^{-4 \log_{\frac{1}{3}} 5} = 3^{-12 \log_{\frac{1}{3}} 5}$$

Шаг 3: Используем свойство логарифмов $\log_b a^x = x \cdot \log_b a$.

$$3^{-12 \log_{\frac{1}{3}} 5} = \left( \frac{1}{3} \right)^{12 \log_{\frac{1}{3}} 5}$$

Шаг 4: Используем определение логарифма $\log_b a = x \Rightarrow b^x = a$.

$$\left( \frac{1}{3} \right)^{\log_{\frac{1}{3}} 5} = 5$$

Таким образом:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^{12 \log_{\frac{1}{3}} 5} = 5^{12}$$

Ответ: $5^{12}$

5) $10^{3 — \log_{10} 5}$

Шаг 1: Используем свойство логарифмов $\log_b a — \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$.

$$10^{3 — \log_{10} 5} = \frac{10^{3}}{10^{\log_{10} 5}}$$

Шаг 2: Применяем определение логарифма $\log_{10} 5 = x \Rightarrow 10^x = 5$.

$$\frac{10^{3}}{10^{\log_{10} 5}} = \frac{1000}{5} = 200$$

Ответ: $200$

6) $\left( \frac{1}{7} \right)^{1 + 2 \log_{\frac{1}{7}} 3}$

Шаг 1: Разделим выражение на два множителя.

$$\left( \frac{1}{7} \right)^{1 + 2 \log_{\frac{1}{7}} 3} = \frac{1}{7} \cdot \left( \frac{1}{7} \right)^{2 \log_{\frac{1}{7}} 3}$$

Шаг 2: Применяем определение логарифма.

$$\left( \frac{1}{7} \right)^{\log_{\frac{1}{7}} 3} = 3$$

Таким образом:

$$\left( \frac{1}{7} \right)^{2 \log_{\frac{1}{7}} 3} = 3^2 = 9$$

Шаг 3: Умножим на $\frac{1}{7}$.

$$\frac{1}{7} \cdot 9 = \frac{9}{7} = 1 \frac{2}{7}$$

Ответ: $1\frac{2}{7}$