ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 276 Алимов — Подробные Ответы

1. 8^log2(5);
2. 9^log3(12);
3. 16^log4(7);
4. 0,125^log0,5(1).

Определение логарифма можно записать так: $a^{\log_{a} b} = b$;

1. $8^{\log_{2} 5} = (2^{3})^{\log_{2} 5} = \left( 2^{\log_{2} 5} \right)^{3} = 5^{3} = 125$;
2. $9^{\log_{3} 12} = (3^{2})^{\log_{3} 12} = \left( 3^{\log_{3} 12} \right)^{2} = 12^{2} = 144$;
3. $16^{\log_{4} 7} = (4^{2})^{\log_{4} 7} = \left( 4^{\log_{4} 7} \right)^{2} = 7^{2} = 49$;
4. $0,125^{\log_{0,5} 1} = (0,5^{3})^{\log_{0,5} 1} = \left( 0,5^{\log_{0,5} 1} \right)^{3} = 1^{3} = 1$

Задача 1) $8^{\log_{2} 5}$

Шаг 1: Перепишем основание в виде степени 2

Мы видим, что основание 8 можно выразить как степень числа 2, поскольку $8 = 2^3$. Запишем это:

$$8^{\log_{2} 5} = (2^3)^{\log_2 5}.$$

Шаг 2: Используем свойство степени

Мы применяем правило для возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В нашем случае:

$$(2^3)^{\log_2 5} = 2^{3 \cdot \log_2 5}.$$

Шаг 3: Упростим выражение с логарифмом

Используем свойство логарифмов $a^{\log_a b} = b$. В данном случае у нас основание 2, и мы имеем выражение $2^{\log_2 5}$, которое по свойству логарифма равно 5:

$$2^{3 \cdot \log_2 5} = 5^3.$$

Шаг 4: Вычисляем $5^3$

Теперь вычислим $5^3$:

$$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125.$$

Ответ: $8^{\log_2 5} = 125$.

Задача 2) $9^{\log_3 12}$

Шаг 1: Перепишем основание в виде степени 3

Мы видим, что основание 9 можно выразить как степень числа 3, поскольку $9 = 3^2$. Запишем это:

$$9^{\log_3 12} = (3^2)^{\log_3 12}.$$

Шаг 2: Используем свойство степени

Применяем правило для возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$(3^2)^{\log_3 12} = 3^{2 \cdot \log_3 12}.$$

Шаг 3: Упростим выражение с логарифмом

Используем свойство логарифмов $a^{\log_a b} = b$. В данном случае у нас основание 3, и мы имеем выражение $3^{\log_3 12}$, которое по свойству логарифма равно 12:

$$3^{2 \cdot \log_3 12} = 12^2.$$

Шаг 4: Вычисляем $12^2$

Теперь вычислим $12^2$:

$$12^2 = 12 \times 12 = 144.$$

Ответ: $9^{\log_3 12} = 144$.

Задача 3) $16^{\log_4 7}$

Шаг 1: Перепишем основание в виде степени 4

Мы видим, что основание 16 можно выразить как степень числа 4, поскольку $16 = 4^2$. Запишем это:

$$16^{\log_4 7} = (4^2)^{\log_4 7}.$$

Шаг 2: Используем свойство степени

Применяем правило для возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$(4^2)^{\log_4 7} = 4^{2 \cdot \log_4 7}.$$

Шаг 3: Упростим выражение с логарифмом

Используем свойство логарифмов $a^{\log_a b} = b$. В данном случае у нас основание 4, и мы имеем выражение $4^{\log_4 7}$, которое по свойству логарифма равно 7:

$$4^{2 \cdot \log_4 7} = 7^2.$$

Шаг 4: Вычисляем $7^2$

Теперь вычислим $7^2$:

$$7^2 = 7 \times 7 = 49.$$

Ответ: $16^{\log_4 7} = 49$.

Задача 4) $0,125^{\log_{0,5} 1}$

Шаг 1: Перепишем основание в виде степени 0,5

Мы видим, что основание 0,125 можно выразить как степень числа 0,5, поскольку $0,125 = (0,5)^3$. Запишем это:

$$0,125^{\log_{0,5} 1} = (0,5^3)^{\log_{0,5} 1}.$$

Шаг 2: Используем свойство степени

Применяем правило для возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$(0,5^3)^{\log_{0,5} 1} = 0,5^{3 \cdot \log_{0,5} 1}.$$

Шаг 3: Упростим выражение с логарифмом

Используем свойство логарифмов $a^{\log_a b} = b$. В данном случае у нас основание 0,5, и выражение $0,5^{\log_{0,5} 1}$ по свойству логарифма равно 1:

$$0,5^{3 \cdot \log_{0,5} 1} = 1^3.$$

Шаг 4: Вычисляем $1^3$

Теперь вычисляем $1^3$:

$$1^3 = 1.$$

Ответ: $0,125^{\log_{0,5} 1} = 1$.

Итоги:

1. $8^{\log_2 5} = 125$
2. $9^{\log_3 12} = 144$
3. $16^{\log_4 7} = 49$
4. $0,125^{\log_{0,5} 1} = 1$