ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 271 Алимов — Подробные Ответы

1. log1/2(1/32);
2. log1/2(4);
3. log0,5(0,125);
4. log0,5(1/2);
5. log0,5(1);
6. log1/2( корень 3 степени 2).

1. $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{5} = 5$;
2. $\log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} 2^{2} = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = -2$;
3. $\log_{0,5} 0,125 = \log_{0,5} (0,5)^{3} = 3$;
4. $\log_{0,5} \frac{1}{2} = \log_{0,5} 0,5 = 1$;
5. $\log_{0,5} 1 = \log_{0,5} (0,5)^{0} = 0$;
6. $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = \log_{\frac{1}{2}} 2^{\frac{1}{3}} = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-\frac{1}{3}} = -\frac{1}{3}$

1) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}$

Шаг 1: Представим $\frac{1}{32}$ как степень числа $\frac{1}{2}$. Заметим, что $32 = 2^5$, а $\frac{1}{32} = 2^{-5}$. Теперь мы можем представить $\frac{1}{32}$ как:

$$\frac{1}{32} = \left( \frac{1}{2} \right)^5$$

Шаг 2: Подставим это в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^5$$

Шаг 3: Используем свойство логарифма: $\log_{a} (a^x) = x$, применяя это свойство:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^5 = 5$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = 5$$

2) $\log_{\frac{1}{2}} 4$

Шаг 1: Представим $4$ как степень числа $2$:

$$4 = 2^2$$

Шаг 2: Теперь представим $2^2$ через $\frac{1}{2}$. Заметим, что:

$$2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-1}$$

Тогда:

$$2^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}$$

Шаг 3: Подставим в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}$$

Шаг 4: Применим свойство логарифма: $\log_{a} (a^x) = x$:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = -2$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$$

3) $\log_{0,5} 0,125$

Шаг 1: Представим $0,125$ как степень числа $0,5$. Заметим, что:

$$0,125 = \frac{1}{8} = \left( 0,5 \right)^3$$

Шаг 2: Подставим это в логарифм:

$$\log_{0,5} 0,125 = \log_{0,5} \left( 0,5 \right)^3$$

Шаг 3: Используем свойство логарифма $\log_{a} (a^x) = x$:

$$\log_{0,5} \left( 0,5 \right)^3 = 3$$

Ответ:

$$\log_{0,5} 0,125 = 3$$

4) $\log_{0,5} \frac{1}{2}$

Шаг 1: Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2}$. То есть:

$$\log_{0,5} \frac{1}{2} = \log_{0,5} 0,5$$

Шаг 2: Используем свойство логарифма: $\log_{a} a = 1$:

$$\log_{0,5} 0,5 = 1$$

Ответ:

$$\log_{0,5} \frac{1}{2} = 1$$

5) $\log_{0,5} 1$

Шаг 1: Заметим, что любое число в степени ноль даёт единицу:

$$1 = (0,5)^0$$

Шаг 2: Подставим это в логарифм:

$$\log_{0,5} 1 = \log_{0,5} (0,5)^0$$

Шаг 3: Применим свойство логарифма: $\log_{a} (a^x) = x$:

$$\log_{0,5} (0,5)^0 = 0$$

Ответ:

$$\log_{0,5} 1 = 0$$

6) $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}$

Шаг 1: Представим $\sqrt[3]{2}$ как степень числа $2$:

$$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 2: Теперь представим $2^{\frac{1}{3}}$ через $\frac{1}{2}$. Заметим, что:

$$2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-1}$$

Тогда:

$$2^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{-\frac{1}{3}}$$

Шаг 3: Подставим это в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-\frac{1}{3}}$$

Шаг 4: Используем свойство логарифма $\log_{a} (a^x) = x$:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-\frac{1}{3}} = -\frac{1}{3}$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = -\frac{1}{3}$$

Итоговые ответы:

1. $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = 5$
2. $\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$
3. $\log_{0,5} 0,125 = 3$
4. $\log_{0,5} \frac{1}{2} = 1$
5. $\log_{0,5} 1 = 0$
6. $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = -\frac{1}{3}$