ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 264 Алимов — Подробные Ответы

1. (0,2^(x+0,5))/корень 5=5*0,04x;
2. 4*3x — 9*2x= 5*3^x/2 * 2^x/2;
3. 2*4x-3*10x — 5*25x =0;
4. 4*9x+12x-3*16x=0.

1)

$$\frac{0.2^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot 0.04^x;$$ $$\left(\frac{1}{5}\right)^{x+0.5} : 5^{\frac{1}{2}} = 5 \cdot \left(\frac{4}{100}\right)^x;$$ $$\left(\frac{1}{5}\right)^{x+0.5} : \left(\frac{1}{5}\right)^{-0.5} = 5 \cdot \left(\frac{1}{25}\right)^x;$$ $$\left(\frac{1}{5}\right)^{x+0.5 — (-0.5)} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2x};$$ $$\left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{2x-1};$$ $$x + 1 = 2x — 1;$$ $$-x = -2, \text{отсюда } x = 2.$$

Ответ: $x = 2$.

2)

$$4 \cdot 3^x — 9 \cdot 2^x = 5 \cdot 3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}} \quad | : 2^x;$$ $$4 \cdot \frac{3^x}{2^x} — 9 = 5 \cdot \frac{3^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{x}{2}}};$$ $$4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x — 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} — 9 = 0;$$

Пусть $y = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}}$, тогда:

$$4y^2 — 5y — 9 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 4 \cdot 9 = 25 + 144 = 169, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 13}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1;$$ $$y_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4};$$

Первое значение:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = -1 \quad \text{нет корней};$$

Второе значение:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{9}{4};$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2;$$ $$\frac{x}{2} = 2, \text{отсюда } x = 4.$$

Ответ: $x = 4$.

3)

$$2 \cdot 4^x — 3 \cdot 10^x — 5 \cdot 25^x = 0 \quad | : 25^x;$$ $$2 \cdot \frac{4^x}{25^x} — 3 \cdot \frac{10^x}{25^x} — 5 = 0;$$ $$2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} — 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x — 5 = 0;$$

Пусть $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, тогда:

$$2y^2 — 3y — 5 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1;$$ $$y_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2};$$

Первое значение:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x = -1 \quad \text{нет корней};$$

Второе значение:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{5}{2};$$ $$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1};$$ $$x = -1.$$

Ответ: $x = -1$.

4)

$$4 \cdot 9^x + 12^x — 3 \cdot 16^x = 0 \quad | : 16^x;$$ $$4 \cdot \frac{9^x}{16^x} + \frac{12^x}{16^x} — 3 = 0;$$ $$4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} + \left(\frac{3}{4}\right)^x — 3 = 0;$$

Пусть $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$, тогда:

$$4y^2 + y — 3 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 48 = 49, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1;$$ $$y_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};$$

Первое значение:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^x = -1 \quad \text{нет корней};$$

Второе значение:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4};$$ $$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^1;$$ $$x = 1.$$

Ответ: $x = 1$.

1)

$$\frac{0.2^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot 0.04^x;$$

Шаг 1: Преобразуем числа в дроби:

$$0.2 = \frac{1}{5}, \quad 0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}.$$

Теперь подставим их в уравнение:

$$\frac{\left( \frac{1}{5} \right)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot \left( \frac{1}{25} \right)^x.$$

Шаг 2: Вынесем $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ и упростим дроби:

$$\frac{\left( \frac{1}{5} \right)^{x+0.5}}{5^{1/2}} = 5 \cdot \left( \frac{1}{25} \right)^x.$$

Шаг 3: Упростим выражение слева. Используем свойство степеней:

$$\left( \frac{1}{5} \right)^{x+0.5} = \left( \frac{1}{5} \right)^x \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{0.5} = \frac{1}{5^x} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Получаем:

$$\frac{1}{5^x} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = 5 \cdot \left( \frac{1}{25} \right)^x.$$

Шаг 4: Упростим правую сторону:

$$5 \cdot \left( \frac{1}{25} \right)^x = 5 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{2x}.$$

Теперь у нас получается уравнение с одинаковыми основаниями, и можно приравнять их степени. Решаем:

$$x + 1 = 2x — 1.$$

Шаг 5: Из этого уравнения получаем:

$$-x = -2, \quad \text{отсюда} \quad x = 2.$$

Ответ: $x = 2$.

2)

$$4 \cdot 3^x — 9 \cdot 2^x = 5 \cdot 3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}} \quad | : 2^x;$$

Шаг 1: Разделим обе стороны на $2^x$:

$$4 \cdot \frac{3^x}{2^x} — 9 = 5 \cdot \frac{3^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{x}{2}}}.$$

Шаг 2: Перепишем выражение слева:

$$4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x — 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} — 9 = 0.$$

Шаг 3: Введем замену: $y = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}}$. Тогда у нас получится:

$$4y^2 — 5y — 9 = 0.$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169.$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{5 — 13}{8} = \frac{-8}{8} = -1,$$ $$y_2 = \frac{5 + 13}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}.$$

Шаг 5: Рассмотрим первый корень $y_1 = -1$. Это не подходит, так как выражение $\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}}$ всегда положительное.

Шаг 6: Рассмотрим второй корень $y_2 = \frac{9}{4}$:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{9}{4}.$$

Преобразуем это в степень:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2.$$

Из этого следует:

$$\frac{x}{2} = 2, \quad \text{отсюда} \quad x = 4.$$

Ответ: $x = 4$.

3)

$$2 \cdot 4^x — 3 \cdot 10^x — 5 \cdot 25^x = 0 \quad | : 25^x;$$

Шаг 1: Разделим обе стороны на $25^x$:

$$2 \cdot \frac{4^x}{25^x} — 3 \cdot \frac{10^x}{25^x} — 5 = 0.$$

Шаг 2: Преобразуем выражения в степени:

$$2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} — 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x — 5 = 0.$$

Шаг 3: Введем замену $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$. Тогда у нас получится квадратное уравнение:

$$2y^2 — 3y — 5 = 0.$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49.$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1,$$ $$y_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.$$

Шаг 5: Рассматриваем первый корень $y_1 = -1$. Так как $\left(\frac{2}{5}\right)^x$ всегда положительно, это решение не подходит.

Шаг 6: Рассматриваем второй корень $y_2 = \frac{5}{2}$:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{5}{2}.$$

Преобразуем это в степень:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}.$$

Отсюда:

$$x = -1.$$

Ответ: $x = -1$.

4)

$$4 \cdot 9^x + 12^x — 3 \cdot 16^x = 0 \quad | : 16^x;$$

Шаг 1: Разделим обе стороны на $16^x$:

$$4 \cdot \frac{9^x}{16^x} + \frac{12^x}{16^x} — 3 = 0.$$

Шаг 2: Преобразуем выражения в степени:

$$4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} + \left(\frac{3}{4}\right)^x — 3 = 0.$$

Шаг 3: Введем замену $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$. Тогда у нас получается:

$$4y^2 + y — 3 = 0.$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49.$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1,$$ $$y_2 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.$$

Шаг 5: Рассматриваем первый корень $y_1 = -1$. Это решение не подходит, так как выражение $\left(\frac{3}{4}\right)^x$ всегда положительное.

Шаг 6: Рассматриваем второй корень $y_2 = \frac{3}{4}$:

\left(\frac{3}{4}\right

)^x = \frac{3}{4}. ]

Преобразуем это в степень:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^1.$$

Отсюда:

$$x = 1.$$

Ответ: $x = 1$.

Итоги:

1. $x = 2$
2. $x = 4$
3. $x = -1$
4. $x = 1$