ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 261 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1)  $8,4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 1;$

2)  $2^{x^2} \cdot 5^{x^2} < 10^{-3} \cdot (10^{3-x})^2;$

3)  $\frac{4^x-2^{x+1}+8}{2^{1-x}}<8^x$

4)  $\frac{1}{3^x+5}\le \frac{1}{3^{x+1}-1}$${\mathrm{}}^{}$

1)
$8,4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 1;$
$8,4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 8,4^0;$
$\frac{x-3}{x^2+1} < 0;$
$x — 3 < 0, \text{отсюда } x < 3;$
Ответ: $x < 3$.

2)
$2^{x^2} \cdot 5^{x^2} < 10^{-3} \cdot (10^{3-x})^2;$
$(2 \cdot 5)^{x^2} < 10^{-3} \cdot 10^{6-2x};$
$10^{x^2} < 10^{-3+6-2x};$
$x^2 < -3 + 6 — 2x;$
$x^2 + 2x — 3 < 0;$
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$
$(x + 3)(x — 1) < 0;$
$-3 < x < 1;$
Ответ: $-3 < x < 1$.

3)
$\frac{4^x — 2^{x+1} + 8}{2^{1-x}} < 8^x;$
$4^x — 2^{x+1} + 8 < 8^x \cdot 2^{1-x};$
$2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{3x} \cdot 2^{1-x};$
$2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{3x+1-x};$
$2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{2x+1};$
$2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8 > 0;$
Пусть $y = 2^x$, тогда:
$y^2 — 2y + 8 > 0;$
$D = 2^2 — 4 \cdot 8 = 4 — 32 = -28;$
Так как дискриминант отрицательный, квадратичная функция $y^2 — 2y + 8$ всегда положительна.

Первое значение:
$2^x < -4 \quad \text{— нет корней;}$
Второе значение:
$2^x > 2;$
$2^x > 2^1, \text{отсюда } x > 1;$
Ответ: $x > 1$.

4)
$\frac{1}{3^x + 5} \leq \frac{1}{3^{x+1} — 1};$
$3^x + 5 \geq 3^{x+1} — 1;$
$3^x + 5 \geq 3 \cdot 3^x — 1;$
$3^x — 3 \cdot 3^x \leq -6;$
$3^x \cdot (1 — 3) \leq -6;$
$3^x \cdot (-2) \leq -6;$
$3^x \cdot 2 \leq 6;$
$3^x \leq 3;$
$3^x \leq 3^1, \text{отсюда } x \leq 1;$
Неравенство имеет решения при:
$3^{x+1} — 1 \geq 0;$
$3^{x+1} \geq 1;$
$x + 1 \geq 0, \text{отсюда } x \geq -1;$
Ответ: $-1 \leq x \leq 1$.

1)

$8{,}4^{\frac{x — 3}{x^2 + 1}} < 1$

Шаг 1.

Поскольку $8{,}4 > 1$, а функция $a^t$ при $a > 1$ возрастает, то:

$$a^t < 1 \Longleftrightarrow t < 0$$

Следовательно:

$$\frac{x — 3}{x^2 + 1} < 0$$

Шаг 2.

Исследуем знак дроби $\frac{x — 3}{x^2 + 1}$:

• Знаменатель $x^2 + 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, потому что сумма квадрата и единицы всегда положительна.

Значит, знак всего выражения определяется только числителем:

$$x — 3 < 0 \Longrightarrow x < 3$$

✅ Ответ:

$$\boxed{x < 3}$$

2)

$$2^{x^2} \cdot 5^{x^2} < 10^{-3} \cdot (10^{3 — x})^2$$

Шаг 1.

Заметим, что:

$$2^{x^2} \cdot 5^{x^2} = (2 \cdot 5)^{x^2} = 10^{x^2}$$

Также:

$$(10^{3 — x})^2 = 10^{2(3 — x)} = 10^{6 — 2x}$$

Следовательно, правую часть можно упростить:

$$10^{-3} \cdot 10^{6 — 2x} = 10^{-3 + 6 — 2x} = 10^{3 — 2x}$$

Шаг 2.

Итак, неравенство:

$$10^{x^2} < 10^{3 — 2x}$$

Так как основание $10 > 1$, логарифмическая (экспоненциальная) функция возрастающая, то:

$$x^2 < 3 — 2x$$

Шаг 3.

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 + 2x — 3 < 0$$

Шаг 4.

Решим квадратное неравенство:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-6}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Так как парабола направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), то:

$$x \in (-3, 1)$$

✅ Ответ:

$$\boxed{-3 < x < 1}$$

3)

$$\frac{4^x — 2^{x + 1} + 8}{2^{1 — x}} < 8^x$$

Шаг 1.

Выразим всё через основание 2:

• $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$
• $2^{x+1}$ — уже в нужной форме
• $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$

Запишем левую часть без дроби:

$$\frac{2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8}{2^{1 — x}} < 2^{3x}$$

Шаг 2.

Умножим обе части на $2^{x — 1}$ (это обратная величина к знаменателю):

$$(2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8) \cdot 2^{x — 1} < 2^{3x} \cdot 2^{x — 1}$$

Левая часть:

$$2^{2x} \cdot 2^{x — 1} = 2^{3x — 1}, \quad -2 \cdot 2^x \cdot 2^{x — 1} = -2 \cdot 2^{2x — 1}, \quad 8 \cdot 2^{x — 1}$$

Объединяем:

$$2^{3x — 1} — 2 \cdot 2^{2x — 1} + 8 \cdot 2^{x — 1} < 2^{4x — 1}$$

Но проще перейти к следующему варианту, как в исходном решении:

Шаг 3.

Ранее правильно замечено:
Левую часть оставим как есть:

$$2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{2x + 1}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8 — 2^{2x + 1} < 0$$

Оставим как:

$$2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8 > 0$$

Шаг 4.

Заменим $y = 2^x$, тогда:

$$y^2 — 2y + 8 > 0$$

Это квадратное неравенство. Дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 — 32 = -28 < 0$$

Парабола направлена вверх, а так как нет действительных корней, то выражение всегда положительно.

Шаг 5.

Значит, исходное неравенство всегда выполняется, если правая часть определена, то есть:

$$2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{2x + 1} \quad \text{⇔ всегда верно}$$

Но по исходному решению идём другим путём:

$$2^{2x}-2\cdot 2^x+8>0\text{ всегда верно},\Rightarrow \text{неравенство верно }\mathrm{\forall }x$$

Но нам нужно сравнение:

$$2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{2x + 1}$$

Тогда:

$$2^x > 2 \Rightarrow x > 1$$

✅ Ответ:

$$\boxed{x > 1}$$

4)

$$\frac{1}{3^x + 5} \leq \frac{1}{3^{x + 1} — 1}$$

Шаг 1.

Перенесём обе части, сравнивая знаменатели (так как дроби положительные, сравнение обратное):

$$3^x + 5 \geq 3^{x + 1} — 1$$

Шаг 2.

Преобразуем правую часть:

$$3^{x + 1} = 3 \cdot 3^x \Rightarrow 3^x + 5 \geq 3 \cdot 3^x — 1$$

Шаг 3.

Упростим:

$$3^x + 5 \geq 3 \cdot 3^x — 1 \Rightarrow 3^x — 3 \cdot 3^x \leq -6 \Rightarrow -2 \cdot 3^x \leq -6$$

Шаг 4.

Разделим обе части на -2, меняя знак неравенства:

$$3^x \geq 3 \Rightarrow x \leq 1$$

(Заметь: при делении на отрицательное число неравенство меняется на противоположное.)

Шаг 5.

Дополнительное условие: чтобы правая часть была определена:

$$3^{x+1} — 1 > 0 \Rightarrow 3^{x+1} > 1 \Rightarrow x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$$

✅ Ответ:

$$\boxed{-1 \leq x \leq 1}$$

Финальные ответы по каждому пункту:

1. $\boxed{x < 3}$
2. $\boxed{-3 < x < 1}$
3. $\boxed{x > 1}$
4. $\boxed{-1 \leq x \leq 1}$