ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 260 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^(x+4) + 2^(x+2) = 5^(x+1) + 3*5x;
2. 5^2x — 7x-5^2x *17 + 7x *17=0;
3. 2^(x2-1) — 3^x2 = 3^(x2-1) — 2^(x2+2);
4. 3*4x+1/3*9^(x+2) = 6* 4^(x+1) — 1/2 * 9^(x+1).

1)
$2^{x+4} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x;$
$2^x \cdot (2^4 + 2^2) = 5^x \cdot (5^1 + 3);$
$2^x \cdot (16 + 4) = 5^x \cdot 8;$
$2^x \cdot 20 = 5^x \cdot 8;$
$\frac{2^x}{5^x} = \frac{8}{20};$
$\left( \frac{2}{5} \right)^x = \left( \frac{2}{5} \right), \text{отсюда } x = 1;$
Ответ: $x = 1$.

2)
$5^{2x} — 7^x — 5^{2x} \cdot 17 + 7^x \cdot 17 = 0;$
$5^{2x} — 17 \cdot 5^{2x} = 7^x — 17 \cdot 7^x;$
$5^{2x} \cdot (1 — 17) = 7^x \cdot (1 — 17);$
$5^{2x} = 7^x;$
$2x = x, \text{отсюда } x = 0;$
Ответ: $x = 0$.

3)
$2^{x^2-1} — 3^{x^2} = 3^{x^2-1} — 2^{x^2+2};$
$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2};$
$2^{x^2} \cdot \left( \frac{1}{2} + 4 \right) = 3^{x^2} \cdot \left( \frac{1}{3} + 1 \right);$
$2^{x^2} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{8}{2} \right) = 3^{x^2} \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{3} \right);$
$2^{x^2} \cdot \frac{9}{2} = 3^{x^2} \cdot \frac{4}{3};$
$\left( \frac{2}{3} \right)^{x^2} = \frac{8}{27};$
$\left( \frac{2}{3} \right)^{x^2} = \left( \frac{2}{3} \right)^3;$
$x^2 = 3, \text{отсюда } x = \pm \sqrt{3};$
Ответ: $x = \pm \sqrt{3}$.

4)
$3 \cdot 4^{x+4} + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} — \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1};$
$3 \cdot 4^x \cdot 4^4 + \frac{1}{3} \cdot 9^x \cdot 9^2 = 6 \cdot 4^x \cdot 4^1 — \frac{1}{2} \cdot 9^x \cdot 9^1;$
$3 \cdot 4^x \cdot 256 + \frac{1}{3} \cdot 9^x \cdot 81 = 6 \cdot 4^x \cdot 4 — \frac{1}{2} \cdot 9^x \cdot 9;$
$4^x \cdot (768 — 24) = 9^x \cdot \left( -\frac{9}{2} — \frac{81}{2} \right);$
$4^x \cdot (-21) = 9^x \cdot \left( -\frac{90}{2} \right);$
$4^x \cdot (-21) = 9^x \cdot (-45);$
$\frac{4^x}{9^x} = \frac{-45}{-21};$
$\left( \frac{2}{3} \right)^{2x} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1};$
$2x = -1, \text{отсюда } x = -0.5;$
Ответ: $x = -0.5$.

1) Решение задачи:

Уравнение:
$2^{x+4} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x$

Шаг 1: Преобразуем обе стороны уравнения.
Сначала выделим общие множители.

$$2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4 = 2^x \cdot 16, \quad 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 2^x \cdot 4$$

Тогда левая часть уравнения становится:

$$2^x \cdot 16 + 2^x \cdot 4 = 2^x \cdot (16 + 4) = 2^x \cdot 20$$

Для правой части:

$$5^{x+1} = 5^x \cdot 5, \quad 3 \cdot 5^x = 3 \cdot 5^x$$

Тогда правая часть:

$$5^x \cdot 5 + 3 \cdot 5^x = 5^x \cdot (5 + 3) = 5^x \cdot 8$$

Теперь уравнение принимает вид:

$$2^x \cdot 20 = 5^x \cdot 8$$

Шаг 2: Упростим выражение:

$$\frac{2^x}{5^x} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$

Таким образом:

$$\left( \frac{2}{5} \right)^x = \frac{2}{5}$$

Шаг 3: Поскольку $\frac{2}{5}$ одинаково с обеих сторон, приравниваем экспоненты:

$$x = 1$$

Ответ: $x = 1$.

2) Решение задачи:

Уравнение:
$5^{2x} — 7^x — 5^{2x} \cdot 17 + 7^x \cdot 17 = 0$

Шаг 1: Соберем подобные члены:

$$5^{2x} — 17 \cdot 5^{2x} = 7^x — 17 \cdot 7^x$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель в обеих частях:

$$5^{2x} \cdot (1 — 17) = 7^x \cdot (1 — 17)$$

Это можно упростить:

$$5^{2x} \cdot (-16) = 7^x \cdot (-16)$$

Шаг 3: Упростим уравнение:

$$5^{2x} = 7^x$$

Шаг 4: Логарифмируем обе части уравнения:

$$2x \cdot \log 5 = x \cdot \log 7$$

Шаг 5: Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону:

$$2x \cdot \log 5 — x \cdot \log 7 = 0$$ $$x \cdot (2 \log 5 — \log 7) = 0$$

Шаг 6: Поскольку $\log 5$ и $\log 7$ — ненулевые числа, мы можем заключить, что $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

3) Решение задачи:

Уравнение:
$2^{x^2-1} — 3^{x^2} = 3^{x^2-1} — 2^{x^2+2}$

Шаг 1: Переносим все члены в одну сторону:

$$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2}$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель для каждой из сторон:

$$2^{x^2} \cdot \left( \frac{1}{2} + 4 \right) = 3^{x^2} \cdot \left( \frac{1}{3} + 1 \right)$$

Шаг 3: Упростим выражения в скобках:

$$\frac{1}{2} + 4 = \frac{1}{2} + \frac{8}{2} = \frac{9}{2}, \quad \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3}$$

Теперь уравнение становится:

$$2^{x^2} \cdot \frac{9}{2} = 3^{x^2} \cdot \frac{4}{3}$$

Шаг 4: Умножим обе стороны на 6 для устранения знаменателей:

$$6 \cdot 2^{x^2} \cdot \frac{9}{2} = 6 \cdot 3^{x^2} \cdot \frac{4}{3}$$ $$9 \cdot 2^{x^2} = 8 \cdot 3^{x^2}$$

Шаг 5: Разделим обе части на $8$:

$$\frac{9}{8} \cdot 2^{x^2} = 3^{x^2}$$

Шаг 6: Изменим форму уравнения:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{x^2} = \frac{8}{27}$$

Шаг 7: Представим $\frac{8}{27}$ как $\left( \frac{2}{3} \right)^3$:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{x^2} = \left( \frac{2}{3} \right)^3$$

Шаг 8: Поскольку основания одинаковы, приравниваем показатели степени:

$$x^2 = 3$$

Шаг 9: Извлекаем корень:

$$x = \pm \sqrt{3}$$

Ответ: $x = \pm \sqrt{3}$.

4) Решение задачи:

Уравнение:
$3 \cdot 4^{x+4} + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} — \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}$

Шаг 1: Раскроем степени:

$$3 \cdot 4^x \cdot 4^4 + \frac{1}{3} \cdot 9^x \cdot 9^2 = 6 \cdot 4^x \cdot 4^1 — \frac{1}{2} \cdot 9^x \cdot 9^1$$ $$3 \cdot 4^x \cdot 256 + \frac{1}{3} \cdot 9^x \cdot 81 = 6 \cdot 4^x \cdot 4 — \frac{1}{2} \cdot 9^x \cdot 9$$

Шаг 2: Упростим выражения:

$$3 \cdot 4^x \cdot 256 = 768 \cdot 4^x, \quad \frac{1}{3} \cdot 9^x \cdot 81 = 27 \cdot 9^x$$ $$6 \cdot 4^x \cdot 4 = 24 \cdot 4^x, \quad \frac{1}{2} \cdot 9^x \cdot 9 = \frac{9}{2} \cdot 9^x$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$768 \cdot 4^x + 27 \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x — \frac{9}{2} \cdot 9^x$$

Шаг 3: Переносим все члены в одну сторону:

$$768 \cdot 4^x — 24 \cdot 4^x + 27 \cdot 9^x + \frac{9}{2} \cdot 9^x = 0$$

Шаг 4: Вынесем общие множители:

$$4^x \cdot (768 — 24) + 9^x \cdot \left( 27 + \frac{9}{2} \right) = 0$$ $$4^x \cdot 744 + 9^x \cdot \frac{63}{2} = 0$$

Шаг 5: Поделим на 2:

$$2 \cdot 4^x \cdot 744 + 9^x \cdot 63 = 0$$

Шаг 6: Разделим обе части на $9^x$ и упростим:

$$\frac{4^x}{9^x} = \frac{45}{21}$$ $$\left( \frac{2}{3} \right)^{2x} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1}$$

Шаг 7: Извлекаем показатель степени:

$$2x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -0.5$$

Ответ: $x = -0.5$.