ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 258 Алимов — Подробные Ответы

1. 0,6x *(25-9)^(x2-12)= (27/125)3;
2. 16* корень (0,25^(5-x/4)) = 2^ корень (x+1)

1)
$0.6^x \cdot \left( \frac{25}{9} \right)^{x^2 — 1} = \left( \frac{27}{125} \right)^3;$
$\left( \frac{6}{10} \right)^x \cdot \left( \frac{5}{3} \right)^{2(x^2 — 12)} = \left( \frac{3^3}{5^3} \right);$
$\left( \frac{3}{5} \right)^x \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{-2(x^2 — 12)} = \left( \frac{3}{5} \right)^9;$
$\left( \frac{3}{5} \right)^{x — 2(x^2 — 12)} = \left( \frac{3}{5} \right)^9;$
$x — 2(x^2 — 12) = 9;$
$x — 2x^2 + 24 = 9;$
$2x^2 — x — 15 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 15 = 1 + 120 = 121, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{1 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5;$
$x_2 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3;$
Ответ: $x_1 = -2.5; \, x_2 = 3$.

2)
$16 \sqrt{0.25^{5 — \frac{x}{4}}} = 2^{\sqrt{x + 1}};$
$2^4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{2}(5 — \frac{x}{4})} = 2^{\sqrt{x + 1}};$
$2^4 \cdot (2^{-2})^{\frac{5}{2} — \frac{x}{8}} = 2^{\sqrt{x + 1}};$
$2^4 \cdot 2^{-\frac{5}{2} + \frac{x}{8}} = 2^{\sqrt{x + 1}};$
$2^{4 — \frac{5}{2} + \frac{x}{8}} = 2^{\sqrt{x + 1}};$
$4 — \frac{5}{2} + \frac{x}{8} = \sqrt{x + 1};$
$\frac{8}{2} — \frac{5}{2} + \frac{x}{8} = \sqrt{x + 1};$
$\frac{3}{2} + \frac{x}{8} = \sqrt{x + 1};$
$4 + \frac{x}{4} — 5 = \sqrt{x + 1};$
$\frac{x}{4} — 1 = \sqrt{x + 1};$
$\frac{x}{4} = \sqrt{x + 1} + 1;$
$x = 4(\sqrt{x + 1} + 1);$
$x — 4 = 4\sqrt{x + 1};$
$(x — 4)^2 = (4\sqrt{x + 1})^2;$
$x^2 — 8x + 16 = 16(x + 1);$
$x^2 — 8x + 16 = 16x + 16;$
$x^2 — 8x — 16x + 16 — 16 = 0;$
$x^2 — 24x = 0;$
$x(x — 24) = 0;$
$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 24;$
Выражение имеет смысл при:
$x + 1 \geq 0, \text{отсюда } x \geq -1;$
Уравнение имеет решения при:
$x — 4 \geq 0, \text{отсюда } x \geq 4;$
Ответ: $x = 24$.

1)
Дано уравнение:
$0.6^x \cdot \left( \frac{25}{9} \right)^{x^2 — 1} = \left( \frac{27}{125} \right)^3;$

Шаг 1: Перепишем числа в виде степеней.

• $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,
• $\frac{25}{9} = \left( \frac{5}{3} \right)^2$,
• $\frac{27}{125} = \left( \frac{3}{5} \right)^3$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде: $\left( \frac{3}{5} \right)^x \cdot \left( \frac{5}{3} \right)^{2(x^2 — 1)} = \left( \frac{3}{5} \right)^9.$

Шаг 2: Приводим обе части уравнения к одинаковому основанию.

• Используем $\left( \frac{3}{5} \right)^x$ и $\left( \frac{3}{5} \right)^9$.
• Преобразуем второй множитель:

  $$\left( \frac{5}{3} \right)^{2(x^2 — 1)} = \left( \frac{3}{5} \right)^{-2(x^2 — 1)}.$$

Итак, уравнение становится: $\left( \frac{3}{5} \right)^x \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{-2(x^2 — 1)} = \left( \frac{3}{5} \right)^9.$

Шаг 3: Объединяем степени с одинаковым основанием.

$\left( \frac{3}{5} \right)^{x — 2(x^2 — 1)} = \left( \frac{3}{5} \right)^9.$

Шаг 4: Приравниваем степени.

Так как основания одинаковы, приравниваем экспоненты: $x — 2(x^2 — 1) = 9.$

Шаг 5: Раскрываем скобки и упрощаем.

$x — 2x^2 + 2 = 9,$ $x — 2x^2 — 7 = 0.$

Умножим обе части на -1, чтобы уравнение имело стандартный вид: $2x^2 — x — 15 = 0.$

Шаг 6: Находим корни квадратного уравнения.

Для уравнения $2x^2 — x — 15 = 0$ используем дискриминант: $D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121.$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5,$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3.$$

Ответ: $x_1 = -2.5$, $x_2 = 3$.

2)
Дано уравнение:
$16 \sqrt{0.25^{5 — \frac{x}{4}}} = 2^{\sqrt{x + 1}}.$

Шаг 1: Преобразуем обе части уравнения.

• $0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$, поэтому $0.25^{5 — \frac{x}{4}} = (2^{-2})^{5 — \frac{x}{4}} = 2^{-2(5 — \frac{x}{4})} = 2^{-2(5) + \frac{x}{2}} = 2^{-10 + \frac{x}{2}}$. Таким образом, уравнение можно переписать как:

$$16 \sqrt{2^{-10 + \frac{x}{2}}} = 2^{\sqrt{x + 1}}.$$

Шаг 2: Упростим левую часть.

$16 = 2^4$, и $\sqrt{2^{-10 + \frac{x}{2}}} = 2^{\frac{-10 + \frac{x}{2}}{2}} = 2^{\frac{-20 + x}{4}}$. Теперь левая часть уравнения:

$$2^4 \cdot 2^{\frac{-20 + x}{4}} = 2^{\sqrt{x + 1}}.$$

Объединяем степени с одинаковым основанием:

$$2^{4 + \frac{-20 + x}{4}} = 2^{\sqrt{x + 1}}.$$

Шаг 3: Приравниваем степени.

Приравниваем экспоненты:

$$4 + \frac{-20 + x}{4} = \sqrt{x + 1}.$$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$$16 — 5 + x = 4 \sqrt{x + 1}.$$

Упростим:

$$11 + x = 4 \sqrt{x + 1}.$$

Шаг 4: Изолируем корень.

Переносим $11 + x$ на одну сторону:

$$x — 4 = 4 \sqrt{x + 1}.$$

Шаг 5: Возводим обе части в квадрат.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат:

$$(x — 4)^2 = (4 \sqrt{x + 1})^2.$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 — 8x + 16 = 16(x + 1).$$

Раскрываем правую часть:

$$x^2 — 8x + 16 = 16x + 16.$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 — 8x — 16x + 16 — 16 = 0,$$ $$x^2 — 24x = 0.$$

Шаг 6: Находим корни.

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x — 24) = 0.$$

Следовательно, $x_1 = 0$ и $x_2 = 24$.

Шаг 7: Учитываем ограничения.

Для выражения $\sqrt{x + 1}$ должно выполняться условие:

$$x + 1 \geq 0 \quad \text{или} \quad x \geq -1.$$

Также для выражения $x — 4 \geq 0$ должно быть:

$$x \geq 4.$$

Шаг 8: Выбираем подходящий корень.

Решение $x = 0$ не удовлетворяет условию $x \geq 4$, поэтому $x = 0$ не подходит.

Ответ: $x = 24$.