ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 256 Алимов — Подробные Ответы

За первый год работы предприятие имело а рублей прибыли. В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на р%. Какой станет прибыль предприятия за n-й год работы?

В первый год предприятие имело $a$ рублей прибыли, за каждый последующий год прибыль увеличивалась на $p\%$. Какой станет прибыль за $n$-й год работы?

Каждый год прибыль предприятия увеличивается в $q$ раз:
$q = (100\% + p\%) : 100 = 1 + \frac{p}{100};$

Имеем геометрическую прогрессию, в которой:
$b_1 = a \quad \text{и} \quad q = 1 + \frac{p}{100};$
$b_n = a \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^{n-1};$

Ответ:
$a \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^{n-1}.$

Условие:
В первый год предприятие имело $a$ рублей прибыли, за каждый последующий год прибыль увеличивалась на $p\%$. Нужно найти, какой станет прибыль за $n$-й год работы предприятия.

Шаг 1: Понимание задачи

1. В первый год прибыль предприятия составляет $a$ рублей.
2. За каждый последующий год прибыль увеличивается на $p\%$, то есть на процент $p$ от прибыли предыдущего года.
3. Задача сводится к нахождению прибыли предприятия в $n$-й год работы.

Шаг 2: Анализ роста прибыли

Каждый год прибыль увеличивается на фиксированный процент, это означает, что прибыль является результатом геометрической прогрессии, где:

• Первый член прогрессии $b_1 = a$, так как прибыль в первый год составляет $a$.
• Каждый последующий член прогрессии получается умножением предыдущего на коэффициент $q$, который соответствует проценту роста прибыли.

Шаг 3: Нахождение коэффициента увеличения $q$

У нас есть информация о том, что прибыль увеличивается на $p\%$ каждый год. Чтобы выразить это в виде коэффициента, используем следующее преобразование:

• $p\%$ — это процентное увеличение, который выражается как $\frac{p}{100}$ в виде десятичной дроби.
• Каждый год прибыль увеличивается в $q$ раз, где:

$$q = \frac{100\% + p\%}{100} = 1 + \frac{p}{100}$$

Это означает, что каждый год прибыль умножается на коэффициент $1 + \frac{p}{100}$, где $p$ — это процентное увеличение.

Шаг 4: Формула для прибыли в $n$-й год

Так как прибыль увеличивается по геометрической прогрессии, где:

• Первый член прогрессии $b_1 = a$,
• Коэффициент прогрессии $q = 1 + \frac{p}{100}$,

формула для $n$-го члена геометрической прогрессии, который описывает прибыль в $n$-й год, будет выглядеть так:

$$b_n = a \cdot q^{n-1} = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n-1}$$

Здесь:

• $a$ — это прибыль в первый год,
• $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$ — это коэффициент увеличения прибыли каждый год,
• $n-1$ — это количество промежуточных лет между первым и $n$-м годом (поскольку в первый год прибыль просто $a$).

Шаг 5: Ответ

Таким образом, прибыль за $n$-й год работы предприятия будет выражаться через формулу:

$$b_n = a \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^{n-1}$$

Шаг 6: Пояснение

• $a$ — это начальная прибыль, которая равна прибыли в первый год.
• $1 + \frac{p}{100}$ — это коэффициент увеличения прибыли на $p\%$ каждый год.
• $n-1$ — это число лет, в течение которых происходит увеличение прибыли, начиная с первого года (первый год не требует умножения на коэффициент, поэтому начинаем с $n-1$).

Эта формула позволяет рассчитать прибыль на любой год $n$, если известны значения $a$ (прибыль в первый год) и $p$ (процент увеличения прибыли каждый год).

Ответ:

$$b_n = a \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^{n-1}$$