ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 255 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что последовательность значений функции у = 2х при натуральных значениях х = 1, 2, 3, … является геометрической прогрессией.

Дана функция:
$y = 2^x;$

Отношение значений функции при $x = n$ и $x = n + 1$, где $n \in \mathbb{N}$:
$q = \frac{y(n+1)}{y(n)} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{(n+1)-n} = 2^{n+1-n} = 2^1 = 2;$

Таким образом, отношение между соседними значениями функции при натуральных значениях аргумента постоянно и равно двум, значит они образуют геометрическую прогрессию, что и требовалось доказать.

Дана функция:

$$y = 2^x$$

Шаг 1: Анализ функции

У нас дана экспоненциальная функция $y = 2^x$, где $2$ — это основание степени, а $x$ — переменная, степень которой изменяется. Это стандартная показательная функция, которая возрастает, так как основание больше 1.

Шаг 2: Определим, что нужно найти

Нужно доказать, что отношение значений функции при соседних целых значениях $x$ при $x = n$ и $x = n + 1$ постоянно и равно 2. Иными словами, требуется показать, что при $x = n$ и $x = n + 1$ отношение $\frac{y(n+1)}{y(n)}$ всегда равно 2 для всех натуральных $n$.

Шаг 3: Запишем отношения значений функции

Предположим, что $n$ — это произвольное натуральное число. Тогда значения функции при $x = n$ и $x = n + 1$ будут:

• При $x = n$:

$$y(n) = 2^n$$

• При $x = n + 1$:

$$y(n+1) = 2^{n+1}$$

Теперь, чтобы найти отношение значений функции, вычислим:

$$q = \frac{y(n+1)}{y(n)} = \frac{2^{n+1}}{2^n}$$

Шаг 4: Упростим выражение

Используем свойство степеней с одинаковым основанием $a^m / a^n = a^{m-n}$. В нашем случае основание — это число 2, а степени $n+1$ и $n$ — это показатели степени.

$$q = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{(n+1) — n} = 2^{1} = 2$$

Шаг 5: Интерпретируем результат

Мы получили, что отношение значений функции при $x = n + 1$ и $x = n$ всегда равно 2, независимо от конкретного значения $n$. Это означает, что для всех натуральных чисел $n$ отношение между соседними значениями функции $y = 2^x$ остается постоянным и равно 2.

Шаг 6: Вывод

Так как отношение $q = 2$ постоянно и одинаково для всех натуральных значений $n$, можно утверждать, что значения функции $y = 2^x$ при соседних $x$ образуют геометрическую прогрессию, где каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего на 2.

Таким образом, мы доказали, что при натуральных значениях $x$ функция $y = 2^x$ образует геометрическую прогрессию с постоянным отношением 2 между соседними членами.

Ответ:

Отношение между соседними значениями функции при натуральных значениях аргумента действительно постоянно и равно двум, значит они образуют геометрическую прогрессию.