ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 253 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^(x-2) > 9;
2. 5^2x < 1/25;
3. 0,7^(x2+2x) < 0,7^3;
4. (1/3)x2 > 1/81.

1)

$$3^{x-2} > 9;$$ $$3^{x-2} > 3^2;$$ $$x — 2 > 2, \text{отсюда } x > 4;$$

Ответ: $x > 4$.

2)

$$5^{2x} < \frac{1}{25};$$ $$5^{2x} < \frac{1}{5^2};$$ $$5^{2x} < 5^{-2};$$ $$2x < -2, \text{отсюда } x < -1;$$

Ответ: $x < -1$.

3)

$$0.7^{x^2 + 2x} < 0.7^3;$$ $$x^2 + 2x > 3;$$ $$x^2 + 2x — 3 > 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$ $$(x + 3)(x — 1) > 0;$$ $$x < -3 \quad \text{и} \quad x > 1;$$

Ответ: $x < -3; \, x > 1$.

4)

$$\left( \frac{1}{3} \right)^{x^2} > \frac{1}{81};$$ $$\left( \frac{1}{3} \right)^{x^2} > \left( \frac{1}{3} \right)^4;$$ $$x^2 > 4;$$ $$-2 < x < 2;$$

Ответ: $-2 < x < 2$.

Задача 1

Неравенство:

$$3^{x-2} > 9$$

Шаг 1: Представим правую часть как степень тройки

$$9 = 3^2$$

Шаг 2: Заменим 9 в неравенстве

$$3^{x-2} > 3^2$$

Шаг 3: Основание степени — число 3, оно больше 1.

А значит, функция $3^x$ возрастает ⇒ знак неравенства сохраняется.

То есть:

$$x — 2 > 2$$

Шаг 4: Решим это линейное неравенство

$$x > 2 + 2 = 4$$

✅ Ответ: $x > 4$

Задача 2

Неравенство:

$$5^{2x} < \frac{1}{25}$$

Шаг 1: Представим $\frac{1}{25}$ как степень пятёрки

$$25 = 5^2 \Rightarrow \frac{1}{25} = 5^{-2}$$

Шаг 2: Подставим в неравенство

$$5^{2x} < 5^{-2}$$

Шаг 3: Основание степени — число 5, оно больше 1 ⇒ функция возрастает

Сохраняем знак:

$$2x < -2$$

Шаг 4: Делим обе части на 2

$$x < -1$$

✅ Ответ: $x < -1$

Задача 3

Неравенство:

$$0.7^{x^2 + 2x} < 0.7^3$$

Шаг 1: Основание степени — число 0.7, оно меньше 1

Значит, функция $0.7^x$ убывает, и при сравнении:

$$a^f < a^g \Rightarrow f > g$$

То есть:

$$x^2 + 2x > 3$$

Шаг 2: Приведём к стандартному виду неравенства

$$x^2 + 2x — 3 > 0$$

Шаг 3: Найдём дискриминант квадратного трёхчлена

$$D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$

Шаг 4: Найдём корни

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \Rightarrow x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Шаг 5: Решаем неравенство

$$(x + 3)(x — 1) > 0$$

Это выражение больше нуля, когда произведение двух множителей положительно, т.е.:

• оба положительны: $x > 1$
• оба отрицательны: $x < -3$

Следовательно:

$$x < -3 \quad \text{или} \quad x > 1$$

✅ Ответ: $x < -3; \quad x > 1$

Задача 4

Неравенство:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^{x^2} > \frac{1}{81}$$

Шаг 1: Представим $\frac{1}{81}$ как степень $\frac{1}{3}$

$$81 = 3^4 \Rightarrow \frac{1}{81} = \left( \frac{1}{3} \right)^4$$

Шаг 2: Подставим в исходное неравенство

$$\left( \frac{1}{3} \right)^{x^2} > \left( \frac{1}{3} \right)^4$$

Шаг 3: Основание меньше 1 ⇒ функция убывает

То есть:

$$x^2 < 4$$

Шаг 4: Решим неравенство $x^2 < 4$

Решение квадратного неравенства:

$$x^2 < 4 \Rightarrow -2 < x < 2$$

✅ Ответ: $-2 < x < 2$