ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 252 Алимов — Подробные Ответы

1. 5^2х-5х- 600 = 0;
2. 9x — 3х — 6 = 0;
3. 3x + 9^(х-1) — 810 = 0;
4. 4х + 2^(х + 1) — 80 = 0.

1)
$5^{2x} — 5^x — 600 = 0;$
Пусть $y = 5^x$, тогда:
$y^2 — y — 600 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 600 = 1 + 1200 = 1201, \text{тогда:}$
$y_1 = \frac{1 — 49}{2} = -24 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 49}{2} = 25;$
Первое значение:
$5^x = -24 \quad \text{— нет корней;}$
Второе значение:
$5^x = 25;$
$5^x = 5^2, \text{отсюда } x = 2;$
Ответ: $x = 2$.

2)
$9^x — 3^x — 6 = 0;$
$3^{2x} — 3^x — 6 = 0;$
Пусть $y = 3^x$, тогда:
$y^2 — y — 6 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}$
$y_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$
Первое значение:
$3^x = -2 \quad \text{— нет корней;}$
Второе значение:
$3^x = 3;$
$3^x = 3^1, \text{отсюда } x = 1;$
Ответ: $x = 1$.

3)
$3^x + 9^{x-1} — 810 = 0;$
$3^x + 9^x \cdot \frac{1}{9} — 810 = 0 \quad | \cdot 9;$
$3^{2x} + 9 \cdot 3^x — 7290 = 0;$
Пусть $y = 3^x$, тогда:
$y^2 + 9y — 7290 = 0;$
$D = 9^2 + 4 \cdot 7290 = 81 + 29160 = 29241, \text{тогда:}$
$y_1 = \frac{-9 — 171}{2} = -90 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-9 + 171}{2} = 81;$
Первое значение:
$3^x = -90 \quad \text{— нет корней;}$
Второе значение:
$3^x = 81;$
$3^x = 3^4, \text{отсюда } x = 4;$
Ответ: $x = 4$.

4)
$4^x + 2^{x+1} — 80 = 0;$
$2^{2x} + 2 \cdot 2^x — 80 = 0;$
Пусть $y = 2^x$, тогда:
$y^2 + 2y — 80 = 0;$
$D = 2^2 + 4 \cdot 80 = 4 + 320 = 324, \text{тогда:}$
$y_1 = \frac{-2 — 18}{2} = -10 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-2 + 18}{2} = 8;$
Первое значение:
$2^x = -10 \quad \text{— нет корней;}$
Второе значение:
$2^x = 8;$
$2^x = 2^3, \text{отсюда } x = 3;$
Ответ: $x = 3$.

1)

Уравнение:

$$5^{2x} — 5^x — 600 = 0$$

Шаг 1. Заменим переменную:

$$\text{Пусть } y = 5^x \Rightarrow 5^{2x} = (5^x)^2 = y^2$$

Подставим в уравнение:

$$y^2 — y — 600 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$$ $$y_{1,2} = \frac{1 \pm 49}{2} \Rightarrow \begin{cases} y_1 = \frac{1 — 49}{2} = \frac{-48}{2} = -24 \\ y_2 = \frac{1 + 49}{2} = \frac{50}{2} = 25 \end{cases}$$

Шаг 3. Возвращаемся к переменной $x$:

• $y = 5^x = -24$: не имеет смысла, т.к. степень положительного числа не может быть отрицательной.
• $5^x = 25 \Rightarrow 5^x = 5^2 \Rightarrow x = 2$

Ответ: $\boxed{x = 2}$

2)

Уравнение:

$$9^x — 3^x — 6 = 0$$

Шаг 1. Заметим:

$$9^x = (3^2)^x = 3^{2x} \Rightarrow 3^{2x} — 3^x — 6 = 0$$

Шаг 2. Вводим замену:

$$y = 3^x \Rightarrow 3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$$

Подставим:

$$y^2 — y — 6 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$ $$\sqrt{D} = 5 \Rightarrow \begin{cases} y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \\ y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 3 \end{cases}$$

Шаг 4. Возвращаемся к $x$:

• $y = 3^x = -2$: нет решений
• $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $\boxed{x = 1}$

3)

Уравнение:

$$3^x + 9^{x-1} = 810$$

Шаг 1. Распишем $9^{x-1}$ через основание 3:

$$9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x — 2}$$

Тогда:

$$3^x + 3^{2x — 2} = 810$$

Шаг 2. Умножим всё на $3^2 = 9$, чтобы избавиться от минуса в показателе:

$$9 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{2x — 2} = 7290 \Rightarrow 9 \cdot 3^x + 3^{2x} = 7290$$

Перепишем:

$$3^{2x} + 9 \cdot 3^x — 7290 = 0$$

Шаг 3. Замена:

$$y = 3^x \Rightarrow 3^{2x} = y^2 \Rightarrow y^2 + 9y — 7290 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение:

$$D = 9^2 + 4 \cdot 1 \cdot 7290 = 81 + 29160 = 29241$$ $$\sqrt{D} = 171 \Rightarrow y_{1,2} = \frac{-9 \pm 171}{2} \Rightarrow \begin{cases} y_1 = \frac{-9 — 171}{2} = -90 \\ y_2 = \frac{-9 + 171}{2} = 81 \end{cases}$$

Шаг 5. Обратно к $x$:

• $3^x = -90$: нет решений
• $3^x = 81 \Rightarrow 3^x = 3^4 \Rightarrow x = 4$

Ответ: $\boxed{x = 4}$

4)

Уравнение:

$$4^x + 2^{x+1} = 80$$

Шаг 1. Преобразуем всё к одному основанию:

$$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}, \quad 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$$

Имеем:

$$2^{2x} + 2 \cdot 2^x — 80 = 0$$

Шаг 2. Замена:

$$y = 2^x \Rightarrow 2^{2x} = y^2 \Rightarrow y^2 + 2y — 80 = 0$$

Шаг 3. Решаем:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 80 = 4 + 320 = 324 \Rightarrow \sqrt{D} = 18 \Rightarrow y_{1,2} = \frac{-2 \pm 18}{2} \Rightarrow \begin{cases} y_1 = \frac{-2 — 18}{2} = -10 \\ y_2 = \frac{-2 + 18}{2} = 8 \end{cases}$$

Шаг 4. Возвращаемся к $x$:

• $2^x = -10$: нет решений
• $2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3$

Ответ: $\boxed{x = 3}$