ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 248 Алимов — Подробные Ответы

(Устно.) Является ли функция возрастающей или убывающей:

1. y=0,78x;
2. y-1,69x;
3. y=(1/2)^-x;
4. y= 4^-x.

Выяснить, является функция возрастающей или убывающей:

1)

$$y = 0.78^x;$$ $$0 < 0.78 < 1, \text{следовательно функция убывает};$$

2)

$$y = 1.69^x;$$ $$1.69 > 1, \text{следовательно функция возрастает};$$

3)

$$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} = 2^{-(-x)} = 2^x;$$ $$2 > 1, \text{следовательно функция возрастает};$$

4)

$$y = 4^{-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-(-x)} = 0.25^x;$$ $$0 < 0.25 < 1, \text{следовательно функция убывает};$$

Задача: Выяснить, является ли функция возрастающей или убывающей.

1) Рассмотрим функцию:

$$y = 0.78^x$$

Анализ функции:

• Базис 0.78 находится в интервале $0 < 0.78 < 1$.
• Функция вида $y = a^x$, где $0 < a < 1$, является убывающей. Это можно проиллюстрировать следующим образом:
  • При увеличении значения $x$, показатель степени растет.
  • Когда основание степени меньше 1, то при увеличении $x$ значение функции уменьшается.
  • Например, если $x = 0$, то $y = 0.78^0 = 1$, если $x = 1$, то $y = 0.78^1 = 0.78$, а если $x = 2$, то $y = 0.78^2 \approx 0.6084$.

Вывод:

$$\text{Функция убывает, так как } 0 < 0.78 < 1.$$

2) Рассмотрим функцию:

$$y = 1.69^x$$

Анализ функции:

• Базис 1.69 больше 1, то есть $1.69 > 1$.
• Функция вида $y = a^x$, где $a > 1$, является возрастающей. Это можно объяснить следующим образом:
  • При увеличении значения $x$, показатель степени растет, и поскольку основание больше 1, значение функции будет увеличиваться.
  • Например, если $x = 0$, то $y = 1.69^0 = 1$, если $x = 1$, то $y = 1.69^1 = 1.69$, а если $x = 2$, то $y = 1.69^2 \approx 2.8561$.

Вывод:

$$\text{Функция возрастает, так как } 1.69 > 1.$$

3) Рассмотрим функцию:

$$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} = 2^{-(-x)} = 2^x$$

Анализ функции:

• Мы видим, что выражение $\left(\frac{1}{2}\right)^{-x}$ можно переписать как $2^x$.
• Базис 2 больше 1, то есть $2 > 1$.
• Функция вида $y = a^x$, где $a > 1$, является возрастающей, как было объяснено в предыдущем пункте.
  • При увеличении $x$ значение функции будет увеличиваться, так как основание больше 1.
  • Например, если $x = 0$, то $y = 2^0 = 1$, если $x = 1$, то $y = 2^1 = 2$, а если $x = 2$, то $y = 2^2 = 4$.

Вывод:

$$\text{Функция возрастает, так как } 2 > 1.$$

4) Рассмотрим функцию:

$$y = 4^{-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-(-x)} = 0.25^x$$

Анализ функции:

• Мы видим, что выражение $4^{-x}$ можно переписать как $0.25^x$, где $0 < 0.25 < 1$.
• Функция вида $y = a^x$, где $0 < a < 1$, является убывающей, как было указано в первом пункте.
  • При увеличении $x$ значение функции будет уменьшаться, так как основание меньше 1.
  • Например, если $x = 0$, то $y = 0.25^0 = 1$, если $x = 1$, то $y = 0.25^1 = 0.25$, а если $x = 2$, то $y = 0.25^2 = 0.0625$.

Вывод:

$$\text{Функция убывает, так как } 0 < 0.25 < 1.$$

Итоговые ответы:

1. Функция $y = 0.78^x$ — убывающая.
2. Функция $y = 1.69^x$ — возрастающая.
3. Функция $y = 2^x$ — возрастающая.
4. Функция $y = 0.25^x$ — убывающая.