ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 246 Алимов — Подробные Ответы

1. 4^- корень 3 и 4^- корень 2;
2. 2^ корень 3 и 2,17^1,7;
3. (1/2)1,4 и (1/2)корень 2;
4. (1/9)пи и (1/9)3,14.

1)

$$4^{-\sqrt{3}} \text{ и } 4^{-\sqrt{2}};$$ $$\sqrt{3} > \sqrt{2};$$ $$-\sqrt{3} < -\sqrt{2};$$ $$4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}};$$

2)

$$2^{\sqrt{3}} \text{ и } 2^{1.7};$$ $$300 > 289;$$ $$\sqrt{300} > 17;$$ $$\sqrt{3} > 1.7;$$ $$2^{\sqrt{3}} > 2^{1.7};$$

3)

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{1.4} \text{ и } \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}};$$ $$196 < 200;$$ $$14 < \sqrt{200};$$ $$1.4 < \sqrt{2};$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^{1.4} > \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}};$$

4)

$$\left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} \text{ и } \left(\frac{1}{9}\right)^{3.14};$$ $$\pi = 3.1415 \ldots$$ $$\pi > 3.14;$$ $$\left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} < \left(\frac{1}{9}\right)^{3.14};$$

1) Сравнение $4^{-\sqrt{3}}$ и $4^{-\sqrt{2}}$

Рассмотрим два числа:

$$4^{-\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad 4^{-\sqrt{2}}$$

Сначала, так как основание $4$ одинаково, важно сравнить показатели степеней: $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{2}$.

1.1) Замечаем, что:

$$\sqrt{3} > \sqrt{2}$$

1.2) Следовательно, инвертируем знак (так как степень отрицательная):

$$-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$$

1.3) Поскольку основание степени больше 1 ($4$), чем меньше показатель степени, тем меньше значение числа. То есть:

$$4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}}$$

Ответ: $4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}}$.

2) Сравнение $2^{\sqrt{3}}$ и $2^{1.7}$

Рассмотрим два числа:

$$2^{\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad 2^{1.7}$$

2.1) Сначала заметим, что $2^{\text{степень}}$ монотонно возрастает, так как основание $2$ больше 1. Следовательно, нужно сравнить степени $\sqrt{3}$ и $1.7$.

2.2) Для этого вычислим значение $\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3} \approx 1.732$$

2.3) Теперь сравним:

$$1.732 > 1.7$$

2.4) Так как основание больше 1, то если степень больше, то и число тоже больше:

$$2^{\sqrt{3}} > 2^{1.7}$$

Ответ: $2^{\sqrt{3}} > 2^{1.7}$.

3) Сравнение $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.4}$ и $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$

Рассмотрим два числа:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{1.4} \quad \text{и} \quad \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$$

3.1) Замечаем, что основание $\frac{1}{2}$ меньше 1, и поэтому функция $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ убывает с увеличением $x$. Это означает, что для большего показателя степени будет меньше значение числа.

3.2) Сначала сравним $1.4$ и $\sqrt{2}$:

$$\sqrt{2} \approx 1.414$$

3.3) Следовательно:

$$1.4 < \sqrt{2}$$

3.4) Так как основание меньше 1, то для меньшего показателя степени число будет больше. То есть:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{1.4} > \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$$

Ответ: $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.4} > \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$.

4) Сравнение $\left(\frac{1}{9}\right)^{\pi}$ и $\left(\frac{1}{9}\right)^{3.14}$

Рассмотрим два числа:

$$\left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} \quad \text{и} \quad \left(\frac{1}{9}\right)^{3.14}$$

4.1) Замечаем, что основание $\frac{1}{9}$ меньше 1, и следовательно, функция $\left(\frac{1}{9}\right)^x$ убывает с увеличением $x$. То есть для большего показателя степени число будет меньше.

4.2) Мы знаем, что:

$$\pi \approx 3.1415$$

и

$$\pi > 3.14$$

4.3) Поскольку $\left(\frac{1}{9}\right)^x$ убывает с увеличением $x$, для большего значения $x$ число будет меньше:

$$\left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} < \left(\frac{1}{9}\right)^{3.14}$$

Ответ: $\left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} < \left(\frac{1}{9}\right)^{3.14}$.

Итоги:

1. $4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}}$
2. $2^{\sqrt{3}} > 2^{1.7}$
3. $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.4} > \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$
4. $\left(\frac{1}{9}\right)^{\pi} < \left(\frac{1}{9}\right)^{3.14}$