ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 243 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\begin{cases} 5^x — 5^y = 100 \\ 5^{x-1} + 5^{y-1} = 30 \end{cases};$$

Пусть $u = 5^x$ и $z = 5^y$, тогда:

$$\begin{cases} u — z = 100 \\ u \cdot 5^{-1} + z \cdot 5^{-1} = 30 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u = 100 + z \\ \frac{u}{5} + \frac{z}{5} = 30 \end{cases};$$ $$\frac{100 + z}{5} + \frac{z}{5} = 30;$$ $$100 + z + z = 150;$$ $$2z = 50, \text{отсюда } z = 25;$$ $$u = 100 + 25 = 125;$$

Значение переменной $x$:

$$5^x = 125;$$ $$5^x = 5^3, \text{отсюда } x = 3;$$

Значение переменной $y$:

$$5^y = 25;$$ $$5^y = 5^2, \text{отсюда } y = 2;$$

Ответ: $(3; 2)$.

2)

$$\begin{cases} 2^x — 9 \cdot 3^y = 7 \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{8}{9} \end{cases};$$

Пусть $u = 2^x$ и $z = 3^y$, тогда:

$$\begin{cases} u — 9z = 7 \\ uz = \frac{8}{9} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u = 7 + 9z \\ 9uz = 8 \end{cases};$$ $$9z(7 + 9z) = 8;$$ $$63z + 81z^2 = 8;$$ $$81z^2 + 63z — 8 = 0;$$ $$D = 63^2 + 4 \cdot 81 \cdot 8 = 3969 + 2592 = 6561, \text{тогда:}$$ $$z_1 = \frac{-63 — 81}{2 \cdot 81} = \frac{-144}{162} = -\frac{3}{9};$$ $$z_2 = \frac{-63 + 81}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9};$$

Уравнения имеют корни при:

$$z > 0 \text{ и } u > 0, \text{значит } z = \frac{1}{9} \text{ и } u = 8;$$

Значение переменной $x$:

$$2^x = 8;$$ $$2^x = 2^3, \text{отсюда } x = 3;$$

Значение переменной $y$:

$$3^y = \frac{1}{9};$$ $$3^y = 3^{-2}, \text{отсюда } y = -2;$$

Ответ: $(3; -2)$.

3)

$$\begin{cases} 16^y — 16^x = 24 \\ 16^{x+y} = 256 \end{cases};$$

Пусть $u = 16^x$ и $z = 16^y$, тогда:

$$\begin{cases} z — u = 24 \\ zu = 256 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z = 24 + u \\ zu — 256 = 0 \end{cases};$$ $$(24 + u)u — 256 = 0;$$ $$u^2 + 24u — 256 = 0;$$ $$D = 24^2 + 4 \cdot 256 = 576 + 1024 = 1600, \text{тогда:}$$ $$u_1 = \frac{-24 — 40}{2} = -32 \text{ и } u_2 = \frac{-24 + 40}{2} = 8;$$ $$z_1 = 24 — 32 = -8 \text{ и } z_2 = 24 + 8 = 32;$$

Уравнения имеют корни при:

$$z > 0 \text{ и } u > 0, \text{значит } u = 8 \text{ и } z = 32;$$

Значение переменной $x$:

$$16^x = 8;$$ $$2^{4x} = 2^3;$$ $$4x = 3, \text{отсюда } x = 0.75;$$

Значение переменной $y$:

$$16^y = 32;$$ $$2^{4y} = 2^5;$$ $$4y = 5, \text{отсюда } y = 1.25;$$

Ответ: $(0.75; 1.25)$.

4)

$$\begin{cases} 3^x + 2^{x+y+1} = 5 \\ 3^{x+1} — 2^{x+y} = 1 \end{cases};$$

Пусть $u = 3^x$ и $z = 2^{x+y}$, тогда:

$$\begin{cases} u + z \cdot 2 = 5 \\ u \cdot 3 — z = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u = 5 — 2z \\ 3u — z = 1 \end{cases};$$ $$3(5 — 2z) — z = 1;$$ $$15 — 6z — z = 1;$$ $$-7z = -14, \text{отсюда } z = 2;$$ $$u = 5 — 2 \cdot 2 = 5 — 4 = 1;$$

Значение переменной $x$:

$$3^x = 1;$$ $$3^x = 3^0, \text{отсюда } x = 0;$$

Значение переменной $y$:

$$2^{x+y} = 2;$$ $$2^y = 2^1, \text{отсюда } y = 1;$$

Ответ: $(0; 1)$.

5)

$$\begin{cases} 5^{x+1} \cdot 3^y = 75 \\ 3^x \cdot 5^{y-1} = 3 \end{cases};$$ $$5^{x+1} \cdot 5^{y-1} \cdot 3^y \cdot 3^x = 75 \cdot 3;$$ $$5^{x+y} \cdot 3^{x+y} = 225;$$ $$(5 \cdot 3)^{x+y} = 225;$$ $$15^{x+y} = 15^2;$$ $$x + y = 2;$$ $$y = 2 — x;$$

Второе уравнение:

$$3^x \cdot 5^{2-x-1} = 3;$$ $$3^x \cdot 5^{1-x} = 3;$$ $$3^x \cdot \frac{5}{5^x} = 3;$$ $$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^1, \text{отсюда } x = 1;$$ $$y = 2 — 1 = 1;$$

Ответ: $(1; 1)$.

6)

$$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 4 \\ 3^y \cdot 2^x = 9 \end{cases};$$ $$3^x \cdot 3^y \cdot 2^y \cdot 2^x = 4 \cdot 9;$$ $$(3 \cdot 2)^{x+y} = 36;$$ $$6^{x+y} = 6^2;$$ $$x + y = 2;$$ $$y = 2 — x;$$

Первое уравнение:

$$3^x \cdot 2^{2-x} = 4;$$ $$3^x \cdot \frac{2^2}{2^x} = 4;$$ $$3^x \cdot \frac{4}{2^x} = 4;$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1;$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^0, \text{отсюда } x = 0;$$ $$y = 2 — 0 = 2;$$

Ответ: $(0; 2)$.

1)

$$\begin{cases} 5^x — 5^y = 100 \\ 5^{x-1} + 5^{y-1} = 30 \end{cases}$$

Для упрощения введем обозначения:

$$u = 5^x, \quad z = 5^y.$$

Таким образом, система уравнений принимает вид:

$$\begin{cases} u — z = 100 \\ \frac{u}{5} + \frac{z}{5} = 30 \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:

$$u + z = 150.$$

Теперь у нас есть система:

$$\begin{cases} u — z = 100 \\ u + z = 150 \end{cases}$$

Сложим два уравнения:

$$(u — z) + (u + z) = 100 + 150,$$ $$2u = 250, \quad u = 125.$$

Подставим найденное значение $u = 125$ в одно из исходных уравнений:

$$u — z = 100 \quad \Rightarrow \quad 125 — z = 100 \quad \Rightarrow \quad z = 25.$$

Теперь найдём значения переменных $x$ и $y$:

$$5^x = 125 \quad \Rightarrow \quad 5^x = 5^3 \quad \Rightarrow \quad x = 3,$$ $$5^y = 25 \quad \Rightarrow \quad 5^y = 5^2 \quad \Rightarrow \quad y = 2.$$

Ответ: $(3; 2)$.

2)

$$\begin{cases} 2^x — 9 \cdot 3^y = 7 \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{8}{9} \end{cases}$$

Введем новые переменные:

$$u = 2^x, \quad z = 3^y.$$

Тогда система уравнений преобразуется в:

$$\begin{cases} u — 9z = 7 \\ uz = \frac{8}{9} \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $u$:

$$u = 7 + 9z.$$

Подставим это в второе уравнение:

$$(7 + 9z)z = \frac{8}{9}.$$

Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от дробей:

$$9z(7 + 9z) = 8 \quad \Rightarrow \quad 63z + 81z^2 = 8.$$

Переносим все в одну сторону:

$$81z^2 + 63z — 8 = 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = 63^2 — 4 \cdot 81 \cdot (-8) = 3969 + 2592 = 6561.$$ $$\sqrt{D} = 81.$$

Находим корни уравнения для $z$:

$$z_1 = \frac{-63 — 81}{2 \cdot 81} = \frac{-144}{162} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3},$$ $$z_2 = \frac{-63 + 81}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}.$$

Так как $z > 0$, выбираем $z = \frac{1}{9}$.

Теперь находим $u$:

$$uz = \frac{8}{9} \quad \Rightarrow \quad u \cdot \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \quad \Rightarrow \quad u = 8.$$

Найдем значения переменных $x$ и $y$:

$$2^x = 8 \quad \Rightarrow \quad 2^x = 2^3 \quad \Rightarrow \quad x = 3,$$ $$3^y = \frac{1}{9} \quad \Rightarrow \quad 3^y = 3^{-2} \quad \Rightarrow \quad y = -2.$$

Ответ: $(3; -2)$.

3)

$$\begin{cases} 16^y — 16^x = 24 \\ 16^{x+y} = 256 \end{cases}$$

Введем новые переменные:

$$u = 16^x, \quad z = 16^y.$$

Тогда система уравнений примет вид:

$$\begin{cases} z — u = 24 \\ zu = 256 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $z$:

$$z = 24 + u.$$

Подставим это в второе уравнение:

$$(24 + u)u = 256 \quad \Rightarrow \quad u^2 + 24u — 256 = 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = 24^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-256) = 576 + 1024 = 1600.$$ $$\sqrt{D} = 40.$$

Находим корни уравнения для $u$:

$$u_1 = \frac{-24 — 40}{2} = -32, \quad u_2 = \frac{-24 + 40}{2} = 8.$$

Так как $u > 0$, выбираем $u = 8$.

Подставим $u = 8$ в уравнение $z = 24 + u$:

$$z = 24 + 8 = 32.$$

Теперь находим значения переменных $x$ и $y$:

$$16^x = 8 \quad \Rightarrow \quad 2^{4x} = 2^3 \quad \Rightarrow \quad 4x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 0.75,$$ $$16^y = 32 \quad \Rightarrow \quad 2^{4y} = 2^5 \quad \Rightarrow \quad 4y = 5 \quad \Rightarrow \quad y = 1.25.$$

Ответ: $(0.75; 1.25)$.

4)

$$\begin{cases} 3^x + 2^{x+y+1} = 5 \\ 3^{x+1} — 2^{x+y} = 1 \end{cases}$$

Введем новые переменные:

$$u = 3^x, \quad z = 2^{x+y}.$$

Тогда система уравнений примет вид:

$$\begin{cases} u + 2z = 5 \\ 3u — z = 1 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $u$:

$$u = 5 — 2z.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$3(5 — 2z) — z = 1 \quad \Rightarrow \quad 15 — 6z — z = 1 \quad \Rightarrow \quad -7z = -14 \quad \Rightarrow \quad z = 2.$$

Теперь находим $u$:

$$u = 5 — 2 \cdot 2 = 1.$$

Теперь находим значения переменных $x$ и $y$:

$$3^x = 1 \quad \Rightarrow \quad 3^x = 3^0 \quad \Rightarrow \quad x = 0,$$ $$2^{x+y} = 2 \quad \Rightarrow \quad 2^y = 2^1 \quad \Rightarrow \quad y = 1.$$

Ответ: $(0; 1)$.

5)

$$\begin{cases} 5^{x+1} \cdot 3^y = 75 \\ 3^x \cdot 5^{y-1} = 3 \end{cases}$$

Умножим обе стороны обеих уравнений:

$$5^{x+1} \cdot 3^y \cdot 3^x \cdot 5^{y-1} = 75 \cdot 3.$$

Получаем:

$$5^{x+y} \cdot 3^{x+y} = 225.$$ $$(5 \cdot 3)^{x+y} = 225 \quad \Rightarrow \quad 15^{x+y} = 15^2 \quad \Rightarrow \quad x + y = 2.$$ $$y = 2 — x.$$

Подставим $y = 2 — x$ во второе уравнение:

$$3^x \cdot 5^{2-x-1} = 3 \quad \Rightarrow \quad 3^x \cdot 5^{1-x} = 3 \quad \Rightarrow \quad 3^x \cdot \frac{5}{5^x} = 3.$$

Получаем:

$$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^1 \quad \Rightarrow \quad x = 1.$$ $$y = 2 — 1 = 1.$$

Ответ: $(1; 1)$.

6)

$$\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 4 \\ 3^y \cdot 2^x = 9 \end{cases}$$

Умножим обе стороны обеих уравнений:

$$3^x \cdot 3^y \cdot 2^y \cdot 2^x = 4 \cdot 9 \quad \Rightarrow \quad (3 \cdot 2)^{x+y} = 36.$$

Получаем:

$$6^{x+y} = 6^2 \quad \Rightarrow \quad x + y = 2.$$ $$y = 2 — x.$$

Подставим $y = 2 — x$ в первое уравнение:

$$3^x \cdot 2^{2-x} = 4 \quad \Rightarrow \quad 3^x \cdot \frac{4}{2^x} = 4 \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{3}{2}\right)^x = 1.$$

Получаем:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.$$ $$y = 2 — 0 = 2.$$

Ответ: $(0; 2)$.