ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 242 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\begin{cases} 2^x + 2^y = 6 \\ 2^x — 2^y = 2 \end{cases};$$

Складываем уравнения:

$$2^x + 2^x + 2^y — 2^y = 6 + 2;$$ $$2 \cdot 2^x = 8;$$ $$2^x = 4;$$ $$2^x = 2^2, \text{отсюда } x = 2;$$

Значение переменной $y$:

$$2^2 — 2^y = 2;$$ $$4 — 2^y = 2;$$ $$2^y = 2;$$ $$2^y = 2^1, \text{отсюда } y = 1;$$

Ответ: $(2; 1)$.

2)

$$\begin{cases} 3^x + 5^y = 8 \\ 3^x — 5^y = -2 \end{cases};$$

Складываем уравнения:

$$3^x + 3^x + 5^y — 5^y = 8 — 2;$$ $$2 \cdot 3^x = 6;$$ $$3^x = 3;$$ $$3^x = 3^1, \text{отсюда } x = 1;$$

Значение переменной $y$:

$$3^1 + 5^y = 8;$$ $$5^y = 8 — 3;$$ $$5^y = 5;$$ $$5^y = 5^1, \text{отсюда } y = 1;$$

Ответ: $(1; 1)$.

1) Первая система уравнений:

$$\begin{cases} 2^x + 2^y = 6 \\ 2^x — 2^y = 2 \end{cases}$$

Шаг 1: Сложение уравнений.

Чтобы избавиться от $2^y$ в обеих строках, сложим оба уравнения:

$$(2^x + 2^y) + (2^x — 2^y) = 6 + 2.$$

В левой части у нас получится:

$$2^x + 2^x + 2^y — 2^y = 2 \cdot 2^x,$$

поскольку $2^y — 2^y = 0$.

Таким образом, мы получаем:

$$2 \cdot 2^x = 8.$$

Шаг 2: Упрощение уравнения.

Теперь разделим обе стороны на 2:

$$2^x = 4.$$

Шаг 3: Решение для $x$.

Преобразуем 4 в степень двойки:

$$2^x = 2^2.$$

Это означает, что $x = 2$, так как степени с одинаковыми основаниями равны, если и их показатели равны.

Шаг 4: Найдём $y$.

Теперь подставим $x = 2$ в одно из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$$2^2 + 2^y = 6,$$

что дает:

$$4 + 2^y = 6.$$

Шаг 5: Решение для $y$.

Переносим 4 в правую часть:

$$2^y = 6 — 4 = 2.$$

Преобразуем 2 в степень двойки:

$$2^y = 2^1.$$

Это означает, что $y = 1$.

Ответ для первой системы:

Таким образом, решение первой системы — это $(x, y) = (2, 1)$.

2) Вторая система уравнений:

$$\begin{cases} 3^x + 5^y = 8 \\ 3^x — 5^y = -2 \end{cases}$$

Шаг 1: Сложение уравнений.

Аналогично первой системе, сложим два уравнения, чтобы избавиться от $5^y$:

$$(3^x + 5^y) + (3^x — 5^y) = 8 — 2.$$

В левой части у нас получится:

$$3^x + 3^x + 5^y — 5^y = 2 \cdot 3^x,$$

и в правой части:

$$8 — 2 = 6.$$

Таким образом, мы получаем:

$$2 \cdot 3^x = 6.$$

Шаг 2: Упрощение уравнения.

Теперь разделим обе стороны на 2:

$$3^x = 3.$$

Шаг 3: Решение для $x$.

Преобразуем 3 в степень тройки:

$$3^x = 3^1.$$

Это означает, что $x = 1$.

Шаг 4: Найдём $y$.

Теперь подставим $x = 1$ в одно из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$$3^1 + 5^y = 8,$$

что дает:

$$3 + 5^y = 8.$$

Шаг 5: Решение для $y$.

Переносим 3 в правую часть:

$$5^y = 8 — 3 = 5.$$

Преобразуем 5 в степень пятерки:

$$5^y = 5^1.$$

Это означает, что $y = 1$.

Ответ для второй системы:

Таким образом, решение второй системы — это $(x, y) = (1, 1)$.

Итог:

1. Решение первой системы: $(x, y) = (2, 1)$.
2. Решение второй системы: $(x, y) = (1, 1)$.