ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 24 Алимов — Подробные Ответы

1. lim n- > бесконечность (3-2n)/2/n;
2. lim n- > бесконечность (3(n+2) +2)/ 3n.
3. lim n- > бесконечность (5(n) + 1)2/5(2n)

Число вида $x^n$, где $|x| < 1$, при увеличении числа $n$ бесконечно уменьшается, поэтому в данном случае $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$;

1)

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3 — 2^n}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{2^n} — 1 \right) = \lim_{n \to \infty} \left( 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n — 1 \right) = 3 \cdot 0 — 1 = -1;$$

Ответ: $-1$.

2)

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+2} + 2}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \left( 3^2 + \frac{2}{3^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( 9 + 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) = 9 + 2 \cdot 0 = 9;$$

Ответ: $9$.

3)

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(5^n + 1)^2}{5^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{2n} + 2 \cdot 5^n + 1}{5^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{5^n} + \frac{1}{5^{2n}} \right) =$$ $$= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + 2 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^n + \left( \frac{1}{5} \right)^{2n} \right) = 1 + 2 \cdot 0 + 0 = 1;$$

Ответ: $1$.

Число вида $x^n$, где $|x| < 1$, при $n \to \infty$ стремится к нулю:

$$\lim_{n \to \infty} x^n = 0, \quad \text{если } |x| < 1.$$

Задача 1

Найти предел:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3 — 2^n}{2^n}$$

Шаг 1: Разделим числитель на знаменатель по членам:

$$\frac{3 — 2^n}{2^n} = \frac{3}{2^n} — \frac{2^n}{2^n}$$

Шаг 2: Упростим:

$$= \frac{3}{2^n} — 1$$

Шаг 3: Заметим, что $\frac{3}{2^n} = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n$

Так как $\left( \frac{1}{2} \right)^n \to 0$, то:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{2^n} = 0$$

Шаг 4: Получаем:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n — 1 \right) = 0 — 1 = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$

Задача 2

Найти предел:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+2} + 2}{3^n}$$

Шаг 1: Распишем $3^{n+2}$ как $3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n$

Подставим:

$$= \frac{9 \cdot 3^n + 2}{3^n}$$

Шаг 2: Разделим дробь на два слагаемых:

$$= \frac{9 \cdot 3^n}{3^n} + \frac{2}{3^n}$$

Шаг 3: Упростим:

$$= 9 + \frac{2}{3^n} = 9 + 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^n$$

Шаг 4: Так как $\left( \frac{1}{3} \right)^n \to 0$, то:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 9 + 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) = 9 + 0 = 9$$

Ответ: $\boxed{9}$

Задача 3

Найти предел:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(5^n + 1)^2}{5^{2n}}$$

Шаг 1: Раскроем квадрат числителя по формуле:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Получаем:

$$(5^n + 1)^2 = 5^{2n} + 2 \cdot 5^n + 1$$

Шаг 2: Подставим в предел:

$$\frac{5^{2n} + 2 \cdot 5^n + 1}{5^{2n}}$$

Шаг 3: Разделим каждое слагаемое в числителе на $5^{2n}$:

$$= \frac{5^{2n}}{5^{2n}} + \frac{2 \cdot 5^n}{5^{2n}} + \frac{1}{5^{2n}}$$

Шаг 4: Упростим:

$$= 1 + \frac{2}{5^n} + \frac{1}{5^{2n}}$$

Шаг 5: Так как $\left( \frac{1}{5} \right)^n \to 0$ и $\left( \frac{1}{5} \right)^{2n} \to 0$, то:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + 2 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^n + \left( \frac{1}{5} \right)^{2n} \right) = 1 + 0 + 0 = 1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 1}}$