ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 239 Алимов — Подробные Ответы

1. 0,4x-2,5^(x+1) > 1,5;
2. 25* 0,04^2x > 0,2^(x(3-x));
3. 4x/(4x-3x) < 4;
4. (1/4)x — 32* (1/8)^(x2-1) < 0.

1) $0.4^x — 2.5^{x+1} > 1.5$

• $\left( \frac{4}{10} \right)^x — 2.5 \cdot \left( \frac{25}{10} \right)^x — 1.5 > 0$;
• $\left( \frac{2}{5} \right)^x — 2.5 \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^x — 1.5 > 0$;

Пусть $y = \left( \frac{2}{5} \right)^x$, тогда:

$$y — \frac{2.5}{y} — 1.5 > 0 \quad | \cdot y;$$ $$y^2 — 2.5 — 1.5y > 0;$$ $$2y^2 — 3y — 5 > 0;$$

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49$, тогда:

$$y_1 = \frac{3 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1;$$ $$y_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2};$$ $$(y + 1)\left(y — \frac{5}{2}\right) > 0;$$ $$y < -1 \quad \text{и} \quad y > \frac{5}{2};$$

Первое значение:

$$\left( \frac{2}{5} \right)^x < -1 \quad \text{— нет корней};$$

Второе значение:

$$\left( \frac{2}{5} \right)^x > \frac{5}{2};$$ $$\left( \frac{2}{5} \right)^x > \left( \frac{2}{5} \right)^{-1}, \quad \text{отсюда } x < -1;$$

Ответ: $x < -1$.

2) $25 \cdot 0.04^{2x} \geq 0.2^{x(3-x)}$

• $\frac{0.04^{2x}}{0.2^{x(3-x)}} > \left( \frac{5}{2} \right)^2;$
• $0.2^{4x — (3x — x^2)} > (0.2)^2;$
• $(0.2)^{x + x^2} > (0.2)^2;$
• $x + x^2 < 2;$
• $x^2 + x — 2 < 0;$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$ $$(x + 2)(x — 1) < 0;$$ $$-2 < x < 1;$$

Ответ: $-2 < x < 1$.

3) $\frac{4^x}{4^x — 3^x} < 4$

• $\frac{1}{1 — \frac{3^x}{4^x}} < 4;$
• $1 < 4 \left( 1 — \left( \frac{3}{4} \right)^x \right);$
• $1 < 4 — 4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^x;$
• $4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^x < 3;$
• $\left( \frac{3}{4} \right)^x < \left( \frac{3}{4} \right)^1, \quad \text{отсюда } x > 1;$

Неравенство всегда верно при:

$$4^x — 3^x < 0;$$ $$4^x < 3^x;$$ $$4^x < 1;$$ $$\left( \frac{4}{3} \right)^x < \left( \frac{4}{3} \right)^0, \quad \text{отсюда } x < 0;$$

Ответ: $x < 0; \, x > 1$.

4) $\left( \frac{1}{4} \right)^x — 32 \cdot \left( \frac{1}{8} \right)^{x^2-1} < 0$

• $\left( \frac{1}{2} \right)^{2x} — 2^5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3(x^2-1)} < 0;$
• $2^{-2x} — 2^5 \cdot 2^{-3(x^2-1)} < 0;$
• $2^{-2x} < 2^{5 — 3(x^2-1)};$
• $-2x < 5 — 3(x^2-1);$
• $-2x < 5 — 3x^2 + 3;$
• $3x^2 — 2x — 8 < 0;$

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 4 + 96 = 100$, тогда:

$$x_1 = \frac{2 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -1 \frac{1}{3};$$ $$x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$$ $$\left( x + 1 \frac{1}{3} \right)(x — 2) < 0;$$ $$-1 \frac{1}{3} < x < 2;$$

Ответ: $-1 \frac{1}{3} < x < 2$.

1) $0.4^x — 2.5^{x+1} > 1.5$

Перепишем неравенство:

$$\left( \frac{4}{10} \right)^x — 2.5 \cdot \left( \frac{25}{10} \right)^x — 1.5 > 0.$$

Далее, преобразуем выражения с основаниями в степени дробей:

$$\left( \frac{2}{5} \right)^x — 2.5 \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^x — 1.5 > 0.$$

Пусть $y = \left( \frac{2}{5} \right)^x$, тогда у нас получается:

$$y — \frac{2.5}{y} — 1.5 > 0.$$

Умножим обе части неравенства на $y$ (положительное число, так как $\left( \frac{2}{5} \right)^x > 0$):

$$y^2 — 2.5 — 1.5y > 0.$$

Перепишем это как:

$$2y^2 — 3y — 5 > 0.$$

Теперь решим квадратное неравенство. Находим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49.$$

Теперь находим корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1,$$ $$y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.$$

Неравенство:

$$(y + 1)(y — \frac{5}{2}) > 0.$$

Решаем его. Рассмотрим два промежутка:

• $y < -1$ (невозможно, так как $y = \left( \frac{2}{5} \right)^x > 0$),
• $y > \frac{5}{2}$.

Таким образом, $y > \frac{5}{2}$, что даёт:

$$\left( \frac{2}{5} \right)^x > \frac{5}{2}.$$

Так как $\left( \frac{2}{5} \right)^x$ убывает, то:

$$x < -1.$$

Ответ: $x < -1$.

2) $25 \cdot 0.04^{2x} \geq 0.2^{x(3-x)}$

Перепишем:

$$\frac{0.04^{2x}}{0.2^{x(3-x)}} \geq \left( \frac{5}{2} \right)^2.$$

Переводим степени:

$$0.2^{4x — (3x — x^2)} \geq (0.2)^2,$$ $$(0.2)^{x + x^2} \geq (0.2)^2.$$

Так как основание одинаковое, можем сравнивать показатели степеней:

$$x + x^2 \leq 2.$$

Решаем неравенство:

$$x^2 + x — 2 \leq 0.$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9,$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1.$$

Неравенство $(x + 2)(x — 1) \leq 0$ даёт решение:

$$-2 \leq x \leq 1.$$

Ответ: $-2 \leq x \leq 1$.

3) $\frac{4^x}{4^x — 3^x} < 4$

Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{1 — \frac{3^x}{4^x}} < 4,$$ $$1 < 4 \left( 1 — \left( \frac{3}{4} \right)^x \right),$$ $$1 < 4 — 4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^x,$$ $$4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^x < 3,$$ $$\left( \frac{3}{4} \right)^x < \left( \frac{3}{4} \right)^1, \quad \text{отсюда } x > 1.$$

Теперь рассмотрим неравенство $4^x — 3^x < 0$:

$$4^x < 3^x,$$ $$4^x < 1,$$ $$\left( \frac{4}{3} \right)^x < 1, \quad \text{отсюда } x < 0.$$

Ответ: $x < 0; \, x > 1$.

4) $\left( \frac{1}{4} \right)^x — 32 \cdot \left( \frac{1}{8} \right)^{x^2-1} < 0$

Перепишем:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{2x} — 2^5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3(x^2-1)} < 0,$$ $$2^{-2x} — 2^5 \cdot 2^{-3(x^2-1)} < 0,$$ $$2^{-2x} < 2^{5 — 3(x^2-1)},$$ $$-2x < 5 — 3(x^2-1),$$ $$-2x < 5 — 3x^2 + 3,$$ $$3x^2 — 2x — 8 < 0.$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100,$$ $$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3},$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2.$$

Неравенство $\left( x + \frac{4}{3} \right)(x — 2) < 0$ даёт решение:

$$-\frac{4}{3} < x < 2.$$

Ответ: $-\frac{4}{3} < x < 2$.

Таким образом, решения для всех пунктов:

1. $x < -1$
2. $-2 \leq x \leq 1$
3. $x < 0; \, x > 1$
4. $-\frac{4}{3} < x < 2$