ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 238 Алимов — Подробные Ответы

1. 11^(корень (x+6)) > 11x;
2. 0,3^(корень (30-x)) > 0,3x.

1) $11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$

• $\sqrt{x+6} > x$;
• $x + 6 > x^2$;
• $x^2 — x — 6 < 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$$ $$(x + 2)(x — 3) < 0;$$ $$-1 < x < 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 6 \geq 0, \quad \text{отсюда } x \geq -6;$$

Неравенство всегда верно при:

$$x < 0;$$

Ответ: $-6 \leq x < 3$.

2) $0.3^{\sqrt{30-x}} > 0.3^x$

• $\sqrt{30-x} < x$;
• $30 — x < x^2$;
• $x^2 + x — 30 > 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 30 = 1 + 120 = 121$, тогда:

$$x_1 = \frac{-1 — 11}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 11}{2} = 5;$$ $$(x + 6)(x — 5) > 0;$$ $$x < -6 \quad \text{и} \quad x > 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$30 — x \geq 0, \quad \text{отсюда } x \leq 30;$$

Неравенство имеет решения при:

$$x \geq 0;$$

Ответ: $5 < x \leq 30$.

1) $11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$

Шаг 1: Логарифмирование и преобразования

Нам нужно решить неравенство с показательной функцией. Начнем с того, что возьмем логарифм по основанию 11 с обеих сторон:

$$\log_{11}\left( 11^{\sqrt{x+6}} \right) > \log_{11}\left( 11^x \right)$$

Используя свойство логарифмов, $\log_b(a^n) = n \log_b(a)$, получаем:

$$\sqrt{x+6} > x$$

Шаг 2: Преобразование неравенства

Теперь решим неравенство:

$$\sqrt{x+6} > x$$

Для этого возведем обе стороны в квадрат (помним, что при возведении неравенства в квадрат важно учитывать, что $x+6 \geq 0$):

$$x + 6 > x^2$$

Шаг 3: Решение квадратного неравенства

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — x — 6 < 0$$

Это стандартное квадратное неравенство. Для его решения находим корни соответствующего квадратного уравнения:

$$x^2 — x — 6 = 0$$

Используем дискриминант $D$:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$

Таким образом, неравенство $x^2 — x — 6 < 0$ сводится к следующему:

$$(x + 2)(x — 3) < 0$$

Решение этого неравенства: $-2 < x < 3$.

Шаг 4: Ограничения на переменную

Однако, вспомним, что при возведении обеих сторон в квадрат вначале мы предположили, что $x + 6 \geq 0$, то есть:

$$x \geq -6$$

Таким образом, окончательное решение: $-6 \leq x < 3$.

Шаг 5: Проверка на знак

Так как основание $11$ больше 1, функция $11^x$ возрастает, следовательно, при $x < 0$ неравенство всегда верно. Для $x \geq 0$ мы получили решение $-6 \leq x < 3$

Ответ: $-6 \leq x < 3$.

2) $0.3^{\sqrt{30-x}} > 0.3^x$

Шаг 1: Логарифмирование и преобразования

Возьмем логарифм по основанию 0.3 с обеих сторон:

$$\log_{0.3}\left( 0.3^{\sqrt{30-x}} \right) > \log_{0.3}\left( 0.3^x \right)$$

Используя свойство логарифмов, получаем:

$$\sqrt{30-x} < x$$

Шаг 2: Преобразование неравенства

Теперь решим неравенство:

$$\sqrt{30-x} < x$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$30 — x < x^2$$

Шаг 3: Решение квадратного неравенства

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + x — 30 > 0$$

Решаем это неравенство. Сначала находим дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — 11}{2} = -6$$ $$x_2 = \frac{-1 + 11}{2} = 5$$

Таким образом, неравенство $x^2 + x — 30 > 0$ сводится к следующему:

$$(x + 6)(x — 5) > 0$$

Решение этого неравенства: $x < -6$ или $x > 5$.

Шаг 4: Ограничения на переменную

Теперь учтем ограничения на переменную. Из исходного выражения $\sqrt{30-x}$ мы должны иметь $30 — x \geq 0$, то есть $x \leq 30$.

Кроме того, поскольку мы возводим обе стороны в квадрат, $x \geq 0$ должно быть выполнено, чтобы выражение имело смысл.

Шаг 5: Объединение решений

Объединяя условия $x \geq 0$ и $x < -6$ или $x > 5$, получаем:

$$x > 5$$

Учитывая ограничение $x \leq 30$, получаем окончательное решение:

$$5 < x \leq 30$$

Ответ: $5 < x \leq 30$.

Таким образом, решение неравенств:

1. $-6 \leq x < 3$
2. $5 < x \leq 30$