ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 237 Алимов — Подробные Ответы

1. 2x = 3-2x-x2;
2. 3^-x = корень x;
3. (1/3)x=-3/x;
4. (1/2)x= x3-1.

1) $2^x = 3 — 2x — x^2$

• $y = 2^x$ — показательная функция:
  

  $x$	0	1	2
  $y$	1	3	9

• $y = 3 — 2x — x^2$ — уравнение параболы:

  $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{-2} = -1 \quad \text{и} \quad y_0 = 3 + 2 — 1 = 4;$$

  $x$	-4	-3	-2	0	1	2
  $y$	-5	0	3	3	0	-5

• Графики функций:

  

• Ответ: $x_1 \approx -3, \, x_2 \approx 0.6$.

2) $3^{-x} = \sqrt{x}$

• $y = 3^{-x} = \left( \frac{1}{3} \right)^x$ — показательная функция:
  

  $x$	-2	-1	0
  $y$	9	3	1

• $y = \sqrt{x}$ — уравнение ветви параболы:

  $$x \geq 0 \quad \text{и} \quad y \geq 0;$$

  $x$	0	1	4	9
  $y$	0	1	2	3

• Графики функций:

  

• Ответ: $x \approx 0.4$.

3) $\left( \frac{1}{3} \right)^x = -\frac{3}{x}$

• $y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$ — показательная функция:
  

  $x$	-2	-1	0
  $y$	9	3	1

• $y = -\frac{3}{x}$ — уравнение гиперболы:

  $$x \neq 0 \quad \text{и} \quad y \neq 0;$$

  $x$	-3	-1	1	3
  $y$	1	3	-3	-1

• Графики функций:

  

• Ответ: $x = -1$.

4) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = x^3 — 1$

• $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ — показательная функция:
  

  $x$	-3	-2	-1	0
  $y$	8	4	2	1

• $y = x^3 — 1$ — уравнение кубической параболы:

  $$x_0 = 0 \quad \text{и} \quad y_0 = 0^3 — 1 = -1;$$

  $x$	-2	-1	1	2
  $y$	-9	-2	0	7

• Графики функций:

  

• Ответ: $x \approx 1.1$.

1) $2^x = 3 — 2x — x^2$

Показательная функция:

• Рассмотрим функцию $y = 2^x$, которая является стандартной показательной функцией с основанием 2. Она всегда положительна и растет с увеличением $x$. Для разных значений $x$ вычислим значения $y$:
  • $x = 0$, $y = 2^0 = 1$
  • $x = 1$, $y = 2^1 = 2$
  • $x = 2$, $y = 2^2 = 4$

  Получаем таблицу значений:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Парабола:

• Уравнение $y = 3 — 2x — x^2$ описывает параболу, которая открывается вниз. Находим вершину параболы с помощью формулы для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = -1$, $b = -2$:

  $$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$$

  Теперь находим ординату вершины, подставив $x_0 = -1$ в уравнение параболы:

  $$y_0 = 3 — 2(-1) — (-1)^2 = 3 + 2 — 1 = 4$$

  Получаем, что вершина параболы $(-1, 4)$.

  Таблица значений функции $y = 3 — 2x — x^2$ для нескольких значений $x$:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 3 & 0 & -5 \\ \hline \end{array}$$

Нахождение корней:

• Чтобы решить уравнение $2^x = 3 — 2x — x^2$, приравниваем значения обеих функций:

  $$2^x = 3 — 2x — x^2$$

• Сравнив графики функций, видим, что они пересекаются в двух точках:
  • $x_1 \approx -3$
  • $x_2\approx 0.6$$x_2 \approx 0.6$

Ответ: $x_1 \approx -3, \, x_2 \approx 0.6$.

2) $3^{-x} = \sqrt{x}$

Показательная функция:

• Рассмотрим функцию $y = 3^{-x} = \left( \frac{1}{3} \right)^x$. Она является убывающей функцией. Для нескольких значений $x$ вычислим $y$:
  • $x = -2$, $y = 3^2 = 9$
  • $x = -1$, $y = 3^1 = 3$
  • $x = 0$, $y = 3^0 = 1$

  Таблица значений:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 9 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Функция $y = \sqrt{x}$:

• Уравнение $y = \sqrt{x}$ описывает ветвь параболы, которая существует только для $x \geq 0$. Для нескольких значений $x$:
  • $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$
  • $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$
  • $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$
  • $x = 9$, $y = \sqrt{9} = 3$

  Таблица значений:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$$

Нахождение корня:

• Чтобы решить уравнение $3^{-x} = \sqrt{x}$, приравниваем значения обеих функций:

  $$3^{-x} = \sqrt{x}$$

• Сравнив графики функций, видим, что они пересекаются в одной точке:
  • $x \approx 0.4$

Ответ: $x \approx 0.4$.

3) $\left( \frac{1}{3} \right)^x = -\frac{3}{x}$

Показательная функция:

• Рассмотрим функцию $y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$, которая является убывающей для $x$. Для нескольких значений $x$:
  • $x = -2$, $y = \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = 9$
  • $x = -1$, $y = \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = 3$
  • $x = 0$, $y = \left( \frac{1}{3} \right)^{0} = 1$

  Таблица значений:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 9 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Гипербола:

• Уравнение $y = -\frac{3}{x}$ описывает гиперболу. Для нескольких значений $x$:
  • $x = -3$, $y = -\frac{3}{-3} = 1$
  • $x = -1$, $y = -\frac{3}{-1} = 3$
  • $x = 1$, $y = -\frac{3}{1} = -3$
  • $x = 3$, $y = -\frac{3}{3} = -1$

  Таблица значений:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -1 & 1 & 3 \\ \hline y & 1 & 3 & -3 & -1 \\ \hline \end{array}$$

Нахождение корня:

• Чтобы решить уравнение $\left( \frac{1}{3} \right)^x = -\frac{3}{x}$, приравниваем значения обеих функций:

  $$\left( \frac{1}{3} \right)^x = -\frac{3}{x}$$

• Сравнив графики функций, видим, что они пересекаются в одной точке:
  • $x = -1$

Ответ: $x = -1$.

4) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = x^3 — 1$

Показательная функция:

• Рассмотрим функцию $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$, которая является убывающей. Для нескольких значений $x$:
  • $x = -3$, $y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} = 8$
  • $x = -2$, $y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 4$
  • $x = -1$, $y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = 2$
  • $x = 0$, $y = \left( \frac{1}{2} \right)^{0} = 1$

  Таблица значений:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 8 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Кубическая парабола:

• Уравнение $y = x^3 — 1$ описывает кубическую параболу. Для нескольких значений $x$:
  • $x = -2$, $y = (-2)^3 — 1 = -9$
  • $x = -1$, $y = (-1)^3 — 1 = -2$
  • $x = 1$, $y = 1^3 — 1 = 0$
  • $x = 2$, $y = 2^3 — 1 = 7$

  Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & -9 & -2 & 0 & 7 \\ \hline \end{array}$$

Нахождение корня:

• Чтобы решить уравнение $\left( \frac{1}{2} \right)^x = x^3 — 1$, приравниваем значения обеих функций:

  $$\left( \frac{1}{2} \right)^x = x^3 — 1$$

• Сравнив графики функций, видим, что они пересекаются в одной точке:
  • $x \approx 1.1$

Ответ: $x \approx 1.1$.