ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 235 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х значения функции у = (1/4)x больше значений функции у = (1/2)x + 12?

Даны функции:
$y = \left( \frac{1}{4} \right)^x \quad \text{и} \quad y = \left( \frac{1}{2} \right)^x + 12;$

Значения первой функции больше значений второй функции:
$\left( \frac{1}{4} \right)^x > \left( \frac{1}{2} \right)^x + 12;$
$\left( \frac{1}{2} \right)^{2x} — \left( \frac{1}{2} \right)^x — 12 > 0;$

Пусть $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$, тогда:
$y^2 — y — 12 > 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;$
$(y + 3)(y — 4) > 0;$
$y < -3 \quad \text{и} \quad y > 4;$

Первое значение:
$\left( \frac{1}{2} \right)^x < -3 \quad \text{— нет корней};$

Второе значение:
$\left( \frac{1}{2} \right)^x > 4;$
$2^{-x} > 2^2;$
$-x > 2, \text{ отсюда } x < -2;$

Ответ: $x < -2.$

Даны функции:

$$y = \left( \frac{1}{4} \right)^x \quad \text{и} \quad y = \left( \frac{1}{2} \right)^x + 12$$

Требуется найти, при каких значениях $x$ значения первой функции больше, чем второй. То есть:

$$\left( \frac{1}{4} \right)^x > \left( \frac{1}{2} \right)^x + 12$$

Шаг 1. Преобразуем левую часть уравнения

Заметим, что $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$, следовательно:

$$\left( \frac{1}{4} \right)^x = \left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right)^x = \left( \frac{1}{2} \right)^{2x}$$

Подставим это в исходное неравенство:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{2x} > \left( \frac{1}{2} \right)^x + 12$$

Шаг 2. Введём замену переменной

Пусть:

$$y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$$

Тогда:

• $\left( \frac{1}{2} \right)^x = y$
• $\left( \frac{1}{2} \right)^{2x} = \left( \left( \frac{1}{2} \right)^x \right)^2 = y^2$

Подставим:

$$y^2 > y + 12$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону

$$y^2 — y — 12 > 0$$

Шаг 4. Решим квадратное неравенство

Найдём дискриминант:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}$$ $$y_1 = \frac{1 — 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Шаг 5. Записываем решение неравенства

Квадратный трёхчлен $y^2 — y — 12$ положителен, когда:

$$y < -3 \quad \text{или} \quad y > 4$$

Шаг 6. Проверим, какие из промежутков подходят

Помним, что $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$, а значит, $y > 0$, так как степень положительного числа всегда положительна.

Следовательно:

• Промежуток $y < -3$ — не подходит, потому что $\left( \frac{1}{2} \right)^x$ никогда не бывает отрицательным.
• Рассматриваем только:

  $$\left( \frac{1}{2} \right)^x > 4$$

Шаг 7. Решим неравенство $\left( \frac{1}{2} \right)^x > 4$

Перепишем 4 как степень двойки:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^x > 2^2$$

Но:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^x = 2^{-x}, \text{ поэтому:}$$ $$2^{-x} > 2^2$$

Так как основание степени $2 > 1$, то можно сравнивать показатели:

$$— x > 2 \quad \Rightarrow \quad x < -2$$

Ответ:

$$\boxed{x < -2}$$