ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 233 Алимов — Подробные Ответы

1. 9x-3x-6 > 0;
2. 4x-2x < 12;
3. 5^(2x+1) + 4*5x > 0;
4. 3* 9x + 11*3x < 4.

1)
$9^x — 3^x — 6 > 0;$
$3^{2x} — 3^x — 6 > 0;$
Пусть $y = 3^x$, тогда:
$y^2 — y — 6 > 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$
$(y + 2)(y — 3) > 0;$
$y < -2 \quad \text{и} \quad y > 3;$

Первое значение:
$3^x < -2 \quad \text{— нет корней};$

Второе значение:
$3^x > 3;$
$3^x > 3^1, \text{ отсюда } x > 1;$
На искомом отрезке:
$1 < x \leq 3;$
Ответ: $2; \, 3.$

2)
$4^x — 2^x < 12;$
$2^{2x} — 2^x — 12 < 0;$
Пусть $y = 2^x$, тогда:
$y^2 — y — 12 < 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;$
$(y + 3)(y — 4) < 0;$
$-3 < y < 4;$

Первое значение:
$2^x > -3 \quad \text{— при любом } x;$

Второе значение:
$2^x < 4;$
$2^x < 2^2, \text{ отсюда } x < 2;$
На искомом отрезке:
$-3 \leq x < 2;$
Ответ: $-3; \, -2; \, -1; \, 0; \, 1.$

3)
$5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x — 1 > 0;$
$5 \cdot 5^{2x} + 4 \cdot 5^x — 1 > 0;$
Пусть $y = 5^x$, тогда:
$5y^2 + 4y — 1 > 0;$
$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{-4 — 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1;$
$y_2 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5};$
$(y + 1)\left(y — \frac{1}{5}\right) > 0;$
$y < -1 \quad \text{и} \quad y > \frac{1}{5};$

Первое значение:
$5^x < -1 \quad \text{— нет корней};$

Второе значение:
$5^x > \frac{1}{5};$
$5^x > 5^{-1}, \text{ отсюда } x > -1;$
На искомом отрезке:
$-1 < x \leq 3;$
Ответ: $0; \, 1; \, 2; \, 3.$

4)
$3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x — 4 < 0;$
$3 \cdot 3^{2x} + 11 \cdot 3^x — 4 < 0;$
Пусть $y = 3^x$, тогда:
$3y^2 + 11y — 4 < 0;$
$D = 11^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 121 + 48 = 169, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{-11 — 13}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4;$
$y_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$
$(y + 4)\left(y — \frac{1}{3}\right) < 0;$
$-4 < y < \frac{1}{3};$

Первое значение:
$3^x > -4 \quad \text{— при любом } x;$

Второе значение:
$3^x < \frac{1}{3};$
$3^x < 3^{-1}, \text{ отсюда } x < -1;$
На искомом отрезке:
$-3 \leq x < -1;$
Ответ: $-3; \, -2.$

1)

Рассмотрим неравенство:

$$9^x — 3^x — 6 > 0$$

Шаг 1. Представим $9^x$ как $(3^2)^x = 3^{2x}$:

$$3^{2x} — 3^x — 6 > 0$$

Шаг 2. Обозначим $y = 3^x$, тогда $3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$. Получаем:

$$y^2 — y — 6 > 0$$

Шаг 3. Найдём корни квадратного неравенства:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$ $$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2} \Rightarrow y_1 = -2, \; y_2 = 3$$

Шаг 4. Решаем неравенство:

$$(y + 2)(y — 3) > 0 \Rightarrow y < -2 \quad \text{или} \quad y > 3$$

Шаг 5. Возвращаемся к $y = 3^x$:
Поскольку $3^x > 0$ при любом $x$, часть $y < -2$ не подходит.

Остаётся:

$$3^x > 3 \Rightarrow x > 1$$

Шаг 6. Учитываем, что ищем целые $x$ на отрезке $[-3; 3]$:

$$x \in (1; 3] \Rightarrow x = 2, 3$$

Ответ: $2; \, 3$

2)

Рассмотрим неравенство:

$$4^x — 2^x < 12$$

Шаг 1. Запишем $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$:

$$2^{2x} — 2^x — 12 < 0$$

Шаг 2. Обозначим $y = 2^x$, тогда $2^{2x} = y^2$:

$$y^2 — y — 12 < 0$$

Шаг 3. Найдём корни квадратного уравнения:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$$ $$y_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{2} \Rightarrow y_1 = -3, \; y_2 = 4$$

Шаг 4. Решаем неравенство:

$$(y + 3)(y — 4) < 0 \Rightarrow -3 < y < 4$$

Шаг 5. Возвращаемся к $y = 2^x$. Учитываем, что $2^x > 0$, значит:

$$0 < 2^x < 4 \Rightarrow 2^x < 2^2 \Rightarrow x < 2$$

Шаг 6. Ищем целые $x \in [-3; 3]$, удовлетворяющие $x < 2$:

$$x = -3, -2, -1, 0, 1$$

Ответ: $-3; \, -2; \, -1; \, 0; \, 1$

3)

Рассмотрим неравенство:

$$5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x — 1 > 0$$

Шаг 1. Представим $5^{2x+1}$ как $5 \cdot 5^{2x}$:

$$5 \cdot 5^{2x} + 4 \cdot 5^x — 1 > 0$$

Шаг 2. Введём замену: $y = 5^x \Rightarrow 5^{2x} = y^2$:

$$5y^2 + 4y — 1 > 0$$

Шаг 3. Найдём корни:

$$D = 4^2 + 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16 + 20 = 36$$ $$y_{1,2} = \frac{-4 \pm 6}{2 \cdot 5} \Rightarrow y_1 = -1, \; y_2 = \frac{1}{5}$$

Шаг 4. Решаем неравенство:

$$(y + 1)\left(y — \frac{1}{5}\right) > 0 \Rightarrow y < -1 \quad \text{или} \quad y > \frac{1}{5}$$

Шаг 5. $y = 5^x > 0$, значит $y < -1$ — не подходит.

Остаётся:

$$5^x > \frac{1}{5} \Rightarrow x > -1$$

Шаг 6. Целые $x \in (-1; 3]$:

$$x = 0, 1, 2, 3$$

Ответ: $0; \, 1; \, 2; \, 3$

4)

Рассмотрим неравенство:

$$3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x — 4 < 0$$

Шаг 1. $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$:

$$3 \cdot 3^{2x} + 11 \cdot 3^x — 4 < 0$$

Шаг 2. Обозначим $y = 3^x \Rightarrow 3^{2x} = y^2$:

$$3y^2 + 11y — 4 < 0$$

Шаг 3. Найдём дискриминант:

$$D = 11^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 121 + 48 = 169$$ $$y_{1,2} = \frac{-11 \pm 13}{2 \cdot 3} \Rightarrow y_1 = -4, \; y_2 = \frac{1}{3}$$

Шаг 4. Решаем неравенство:

$$(y + 4)\left(y — \frac{1}{3}\right) < 0 \Rightarrow -4 < y < \frac{1}{3}$$

Шаг 5. Так как $y = 3^x > 0$, то неравенство упрощается:

$$0 < 3^x < \frac{1}{3} \Rightarrow 3^x < 3^{-1} \Rightarrow x < -1$$

Шаг 6. Целые $x \in [-3; -1) \Rightarrow x = -3, -2$

Ответ: $-3; \, -2$

Итоговые ответы по пунктам:

1. $2; \, 3$
2. $-3; \, -2; \, -1; \, 0; \, 1$
3. $0; \, 1; \, 2; \, 3$
4. $-3; \, -2$