ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 232 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^(x+2) + 3^(x-1) < 28;
2. 2^(x-1) + 2^(x+3) > 17;
3. 2^(2x-1) + 2^(2x-2) + 2^(2x-3) > =448;
4. 5^(3x+1) + 5^(3x-3) < =624.

1)
$3^{x+2} + 3^{x-1} < 28;$
$3^x \cdot (3^2 + 3^{-1}) < 28;$
$3^x \cdot \left( \frac{27}{3} + \frac{1}{3} \right) < 28;$
$3^x \cdot \frac{28}{3} < 28;$
$3^x < 3^1, \text{ отсюда } x < 1;$
Ответ: $x < 1.$

2)
$2^{x-1} + 2^{x+3} > 17;$
$2^x \cdot (2^{-1} + 2^3) > 17;$
$2^x \cdot \left( \frac{1}{2} + 8 \right) > 17;$
$2^x \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{16}{2} \right) > 17;$
$2^x \cdot \frac{17}{2} > 17;$
$2^x > 2;$
$2^x > 2^1, \text{ отсюда } x > 1;$
Ответ: $x > 1.$

3)
$2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} \geq 448;$
$2^{2x} \cdot (2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3}) \geq 448;$
$2^{2x} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \right) \geq 448;$
$2^{2x} \cdot \left( \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} \right) \geq 448;$
$2^{2x} \cdot \frac{7}{8} \geq 448;$
$2^{2x} \geq 512;$
$2^{2x} \geq 2^9;$
$2x \geq 9, \text{ отсюда } x \geq 4{,}5;$
Ответ: $x \geq 4{,}5.$

4)
$5^{3x+1} — 5^{3x-3} \leq 624;$
$5^{3x} \cdot (5^1 — 5^{-3}) \leq 624;$
$5^{3x} \cdot \left( 5 — \frac{1}{125} \right) \leq 624;$
$5^{3x} \cdot \left( \frac{625}{125} — \frac{1}{125} \right) \leq 624;$
$5^{3x} \cdot \frac{624}{125} \leq 624;$
$5^{3x} \leq 5^3;$
$3x \leq 3, \text{ отсюда } x \leq 1;$
Ответ: $x\le 1.$

1)

Решим неравенство:

$$3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель.
У обеих степеней есть общая часть — $3^x$. Используем свойства степени:

$$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2, \quad 3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1}$$

Подставим:

$$3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^{-1} < 28$$

Шаг 2: Вынесем $3^x$ за скобку:

$$3^x \cdot (3^2 + 3^{-1}) < 28$$

Шаг 3: Посчитаем значения:

$$3^2 = 9, \quad 3^{-1} = \frac{1}{3} \Rightarrow 9 + \frac{1}{3} = \frac{27}{3} + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}$$

Получаем:

$$3^x \cdot \frac{28}{3} < 28$$

Шаг 4: Домножим обе части неравенства на 3 (можно, т.к. 3 > 0):

$$3^x \cdot 28 < 84$$

Шаг 5: Разделим обе части на 28:

$$3^x < 3 \Rightarrow 3^x < 3^1$$

Шаг 6: Поскольку функция $3^x$ возрастающая, то:

$$x < 1$$

✅ Ответ: $\boxed{x < 1}$

2)

$$2^{x-1} + 2^{x+3} > 17$$

Шаг 1: Преобразуем каждую степень через $2^x$:

$$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1}, \quad 2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3$$

Подставим:

$$2^x \cdot 2^{-1} + 2^x \cdot 2^3 > 17$$

Шаг 2: Вынесем $2^x$:

$$2^x \cdot (2^{-1} + 2^3) > 17$$

Шаг 3: Считаем:

$$2^{-1} = \frac{1}{2}, \quad 2^3 = 8, \quad \frac{1}{2} + 8 = \frac{1}{2} + \frac{16}{2} = \frac{17}{2}$$ $$2^x \cdot \frac{17}{2} > 17$$

Шаг 4: Домножим обе части на 2:

$$2^x \cdot 17 > 34$$

Шаг 5: Разделим обе части на 17:

$$2^x > 2 \Rightarrow 2^x > 2^1$$

Шаг 6: Функция $2^x$ также возрастающая, значит:

$$x > 1$$

✅ Ответ: $\boxed{x > 1}$

3)

$$2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} \geq 448$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель $2^{2x}$. Для этого выразим каждую степень:

$$2^{2x-1} = 2^{2x} \cdot 2^{-1}, \quad 2^{2x-2} = 2^{2x} \cdot 2^{-2}, \quad 2^{2x-3} = 2^{2x} \cdot 2^{-3}$$

Подставим:

$$2^{2x} \cdot (2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3}) \geq 448$$

Шаг 2: Посчитаем в скобках:

$$2^{-1} = \frac{1}{2}, \quad 2^{-2} = \frac{1}{4}, \quad 2^{-3} = \frac{1}{8}$$

Сложим:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$ $$2^{2x} \cdot \frac{7}{8} \geq 448$$

Шаг 3: Домножим обе части на 8:

$$2^{2x} \cdot 7 \geq 3584$$

Шаг 4: Разделим обе части на 7:

$$2^{2x} \geq \frac{3584}{7} = 512$$

Шаг 5: Представим 512 как степень двойки:

$$512 = 2^9 \Rightarrow 2^{2x} \geq 2^9$$

Шаг 6: Функция $2^x$ возрастающая:

$$2x \geq 9 \Rightarrow x \geq \frac{9}{2} = 4{,}5$$

✅ Ответ: $\boxed{x \geq 4{,}5}$

4)

$$5^{3x+1} — 5^{3x-3} \leq 624$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель $5^{3x}$. Используем:

$$5^{3x+1} = 5^{3x} \cdot 5, \quad 5^{3x-3} = 5^{3x} \cdot 5^{-3}$$

Подставим:

$$5^{3x} \cdot (5 — 5^{-3}) \leq 624$$

Шаг 2: Выразим $5^{-3}$:

$$5^{-3} = \frac{1}{125} \Rightarrow 5 — \frac{1}{125} = \frac{625}{125} — \frac{1}{125} = \frac{624}{125}$$ $$5^{3x} \cdot \frac{624}{125} \leq 624$$

Шаг 3: Домножим обе части на 125:

$$5^{3x} \cdot 624 \leq 78000$$

Шаг 4: Разделим обе части на 624:

$$5^{3x} \leq \frac{78000}{624} = 125 \Rightarrow 5^{3x} \leq 5^3$$

Шаг 5: Логарифмируем или сравним степени:

$$3x \leq 3 \Rightarrow x \leq 1$$

✅ Ответ: $\boxed{x \leq 1}$