ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 231 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^(-x2+3x) < 4;
2. (7/9)^(2×2-3x) > = 9/7;
3. (13/11) ^(x2-3x) < 121/169;
4. (2*2/3)^(6×2+x) < =7*1/9.

1)
$2^{-x^2 + 3x} < 4;$
$2^{-x^2 + 3x} < 2^2;$
$-x^2 + 3x < 2;$
$x^2 — 3x + 2 > 0;$
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда: }$
$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$
$(x — 1)(x — 2) > 0;$
$x < 1 \quad \text{и} \quad x > 2;$
Ответ: $x < 1; \, x > 2.$

2)
$\left( \frac{7}{9} \right)^{2x^2 — 3x} \geq \frac{9}{7};$
$\left( \frac{7}{9} \right)^{2x^2 — 3x} \geq \left( \frac{7}{9} \right)^{-1};$
$2x^2 — 3x \leq -1;$
$2x^2 — 3x + 1 \leq 0;$
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда: }$
$x_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$
$x_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$
$(x — 0,5)(x — 1) \leq 0;$
$0,5 \leq x \leq 1;$
Ответ: $0,5 \leq x \leq 1.$

3)
$\left( \frac{13}{11} \right)^{x^2 — 3x} < \frac{121}{169};$
$\left( \frac{13}{11} \right)^{x^2 — 3x} < \left( \frac{11}{13} \right)^2;$
$\left( \frac{13}{11} \right)^{x^2 — 3x} < \left( \frac{13}{11} \right)^{-2};$
$x^2 — 3x > -2;$
$x^2 — 3x + 2 < 0;$
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда: }$
$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$
$(x — 1)(x — 2) < 0;$
$1 < x < 2;$
Ответ: $1 < x < 2.$

4)
$\left( \frac{2}{3} \right)^{6x^2 + x} \leq 7 \frac{1}{9};$
$\left( \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} \right)^{6x^2 + x} \leq \frac{7 \cdot 9 + 1}{9};$
$\left( \frac{8}{3} \right)^{6x^2 + x} \leq \frac{64}{9};$
$\left( \frac{8}{3} \right)^{6x^2 + x} \leq \left( \frac{8}{3} \right)^2;$
$6x^2 + x \leq 2;$
$6x^2 + x — 2 \leq 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 2 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда: }$
$x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3};$
$x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};$
$\left( x + \frac{2}{3} \right) \left( x — \frac{1}{2} \right) \leq 0;$
$-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{1}{2};$
Ответ: $-\frac{2}{3}\le x\le \frac{1}{2}\mathrm{.}$

1)

Решим неравенство:

$$2^{-x^2 + 3x} < 4$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть

Число 4 — это степень двойки:

$$4 = 2^2$$

Следовательно, можем записать неравенство так:

$$2^{-x^2 + 3x} < 2^2$$

Шаг 2: Сравнение показателей

Так как основание степени 2 больше 1, функция $2^x$ монотонно возрастает. Поэтому при одинаковом основании неравенство сохраняет знак:

$$— x^2 + 3x < 2$$

Шаг 3: Переносим всё в одну сторону

$$— x^2 + 3x — 2 < 0$$

Умножим обе части на -1, изменяя знак неравенства:

$$x^2 — 3x + 2 > 0$$

Шаг 4: Решим квадратное неравенство

Найдём корни уравнения:

$$x^2 — 3x + 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

Корни:

$$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

Шаг 5: Интервалы и знак

Так как ветви параболы вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), выражение $x^2 — 3x + 2 > 0$ на промежутках:

$$x < 1 \quad \text{или} \quad x > 2$$

Ответ:

$$\boxed{x < 1; \, x > 2}$$

2)

Решим неравенство:

$$\left( \frac{7}{9} \right)^{2x^2 — 3x} \geq \frac{9}{7}$$

Шаг 1: Представим правую часть в виде степени той же основы

$$\frac{9}{7} = \left( \frac{7}{9} \right)^{-1}$$

Тогда неравенство становится:

$$\left( \frac{7}{9} \right)^{2x^2 — 3x} \geq \left( \frac{7}{9} \right)^{-1}$$

Шаг 2: Основание дробь < 1, значит функция убывает

При $0 < a < 1$, функция $a^x$ убывает → знак неравенства меняется:

$$2x^2 — 3x \leq -1$$

Шаг 3: Переносим всё в одну сторону

$$2x^2 — 3x + 1 \leq 0$$

Шаг 4: Найдём корни квадратного трёхчлена

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{3 — 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1$$

Шаг 5: Определим знаки на промежутках

Так как ветви вверх, выражение $\leq 0$ на отрезке:

$$\boxed{0{,}5 \leq x \leq 1}$$

3)

Решим:

$$\left( \frac{13}{11} \right)^{x^2 — 3x} < \frac{121}{169}$$

Шаг 1: Представим правую часть как степень

$$\frac{121}{169} = \left( \frac{11}{13} \right)^2 = \left( \frac{13}{11} \right)^{-2}$$

Тогда:

$$\left( \frac{13}{11} \right)^{x^2 — 3x} < \left( \frac{13}{11} \right)^{-2}$$

Шаг 2: Основание > 1 ⇒ функция возрастает

Значит:

$$x^2 — 3x < -2 \Rightarrow x^2 — 3x + 2 < 0$$

Шаг 3: Решим квадратное неравенство

$$x^2 — 3x + 2 = 0 \Rightarrow D = 1 \Rightarrow x_1 = 1, \; x_2 = 2$$

Парабола вверх, < 0 между корнями:

$$\boxed{1 < x < 2}$$

4)

Решим:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{6x^2 + x} \leq 7 \frac{1}{9}$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть

$$7 \frac{1}{9} = \frac{64}{9}$$

Теперь:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{6x^2 + x} \leq \frac{64}{9}$$

Преобразуем $\frac{64}{9} = \left( \frac{8}{3} \right)^2$, а также $\frac{8}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3}$

Но логичнее заменить основание, чтобы можно было сравнивать. Заметим:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{6x^2 + x} \leq \left( \frac{2}{3} \right)^{-2}$$

Так как $\frac{2}{3} < 1$, то функция убывает, знак меняется:

$$6x^2 + x \geq -2 \Rightarrow 6x^2 + x — 2 \leq 0$$

Шаг 2: Решим квадратное неравенство

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 \Rightarrow x_1 = \frac{-1 — 7}{12} = -\frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{1}{2}$$

Парабола вверх ⇒ $\leq 0$ на отрезке:

$$\boxed{-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}}$$

Итоговые ответы:

1. $\boxed{x < 1; \, x > 2}$
2. $\boxed{0{,}5 \leq x \leq 1}$
3. $\boxed{1 < x < 2}$
4. $\boxed{-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}}$