ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 227 Алимов — Подробные Ответы

1. 4х + 25х = 29;
2. 7х + 18х = 25.

Доказать, что уравнение имеет только один корень $x = 1$.

1)

$$4^x + 25^x = 29;$$

Выполним проверку при $x = 1$:

$$4^1 + 25^1 = 4 + 25 = 29 \quad \text{— верно};$$

Рассмотрим левую часть уравнения:

• $y = 4^x$ — функция возрастает;
• $y = 25^x$ — функция возрастает;

Значит функция $y = 4^x + 25^x$ также возрастает;

Таким образом, функция $y = 4^x + 25^x$ может пересечь прямую $y = 29$ только в одной точке и эта точка имеет абсциссу $x = 1$, что и требовалось доказать.

2)

$$7^x + 18^x = 25;$$

Выполним проверку при $x = 1$:

$$7^1 + 18^1 = 7 + 18 = 25 \quad \text{— верно};$$

Рассмотрим левую часть уравнения:

• $y = 7^x$ — функция возрастает;
• $y = 18^x$ — функция возрастает;

Значит функция $y = 7^x + 18^x$ также возрастает;

Таким образом, функция $y = 7^x + 18^x$ может пересечь прямую $y = 25$ только в одной точке и эта точка имеет абсциссу $x = 1$, что и требовалось доказать.

Доказать, что уравнение имеет только один корень $x = 1$.

1)

$$4^x + 25^x = 29;$$

Шаг 1. Проверка при $x = 1$:

Подставим $x = 1$ в уравнение:

$$4^1 + 25^1 = 4 + 25 = 29.$$

Результат $29 = 29$, то есть при $x = 1$ уравнение выполняется.

Шаг 2. Анализ функции $y = 4^x + 25^x$:

Теперь рассмотрим левую часть уравнения, которая представлена функцией $y = 4^x + 25^x$.

• $y = 4^x$ — это показательную функцию с основанием больше единицы, а такие функции всегда возрастают. То есть, при увеличении $x$, значение $y = 4^x$ увеличивается.
• $y = 25^x$ — аналогичная функция с основанием 25, которое также больше единицы. Эта функция тоже возрастает по мере увеличения $x$.

Так как обе функции $4^x$ и $25^x$ возрастают, их сумма $4^x + 25^x$ также будет возрастать.

Шаг 3. Заключение о пересечении с прямой $y = 29$:

Так как функция $y = 4^x + 25^x$ возрастает, то она может пересечь прямую $y = 29$ только в одной точке. Из того, что при $x = 1$ уравнение выполняется, следует, что точка пересечения — это единственная точка.

Таким образом, уравнение $4^x + 25^x = 29$ имеет только один корень, и этот корень $x = 1$.

2)

$$7^x + 18^x = 25;$$

Шаг 1. Проверка при $x = 1$:

Подставим $x = 1$ в уравнение:

$$7^1 + 18^1 = 7 + 18 = 25.$$

Результат $25 = 25$, то есть при $x = 1$ уравнение выполняется.

Шаг 2. Анализ функции $y = 7^x + 18^x$:

Теперь рассмотрим левую часть уравнения, которая представлена функцией $y = 7^x + 18^x$.

• $y = 7^x$ — это также показательную функцию с основанием больше единицы, которая возрастает. Таким образом, при увеличении $x$, значение $y = 7^x$ будет расти.
• $y = 18^x$ — функция с основанием 18, которое также больше единицы. Эта функция тоже возрастает при увеличении $x$.

Поскольку обе функции $7^x$ и $18^x$ возрастают, их сумма $7^x + 18^x$ будет также возрастать.

Шаг 3. Заключение о пересечении с прямой $y = 25$:

Так как функция $y = 7^x + 18^x$ возрастает, она может пересечь прямую $y = 25$ только в одной точке. Из того, что при $x = 1$ уравнение выполняется, следует, что точка пересечения — это единственная точка.

Таким образом, уравнение $7^x + 18^x = 25$ имеет только один корень, и этот корень $x = 1$.

Ответ:

$$\boxed{x = 1}$$