ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 225 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^(2x+6)=2^(x+3);
2. 5^(x-2) = 4^(2x-4);
3. 2x*3x = 36^x2;
4. 9^(- корень (x-1)) = 1/27.

1)

$$3^{2x+6} = 2^{x+3};$$ $$3^{2(x+3)} = 2^{x+3};$$ $$9^{x+3} = 2^{x+3};$$ $$\frac{9^{x+3}}{2^{x+3}} = 1;$$ $$\left(\frac{9}{2}\right)^{x+3} = \left(\frac{9}{2}\right)^0;$$ $$x + 3 = 0, \text{отсюда } x = -3;$$

Ответ: $x = -3$.

2)

$$5^{x-2} = 4^{2x-4};$$ $$5^{x-2} = (2^2)^{2x-4};$$ $$5^{x-2} = 16^{x-2};$$ $$\frac{5^{x-2}}{16^{x-2}} = 1;$$ $$\left(\frac{5}{16}\right)^{x-2} = \left(\frac{5}{16}\right)^0;$$ $$x — 2 = 0, \text{отсюда } x = 2;$$

Ответ: $x = 2$.

3)

$$2^x \cdot 3^x = 36^{x^2};$$ $$(2 \cdot 3)^x = 36^{x^2};$$ $$6^x = 6^{2x^2};$$ $$x = 2x^2;$$ $$2x^2 — x = 0;$$ $$x(2x — 1) = 0;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1}{2} = 0,5;$$

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 0,5$.

4)

$$9^{-\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27};$$ $$\left(\frac{1}{9}\right)^{\sqrt{x-1}} = \left(\frac{1}{3}\right)^3;$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^{2\sqrt{x-1}} = \left(\frac{1}{3}\right)^3;$$ $$2\sqrt{x-1} = 3;$$ $$4(x-1) = 9;$$ $$4x — 4 = 9;$$ $$4x = 13, \text{отсюда } x = 3,25;$$

Выражение имеет смысл при $x — 1 \geq 0$, отсюда $x \geq 1$;
Ответ: $x = 3,25$.

1). Уравнение:

$$3^{2x+6} = 2^{x+3}$$

Шаг 1: Преобразуем выражение:

$$3^{2x+6} = 2^{x+3} \quad \text{можно записать как} \quad 3^{2(x+3)} = 2^{x+3}.$$

Шаг 2: Выражаем 9 как $9 = 3^2$, получаем:

$$(3^2)^{x+3} = 2^{x+3}.$$

Шаг 3: Применяем свойства степени, то есть $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$9^{x+3} = 2^{x+3}.$$

Шаг 4: Разделим обе части уравнения на $2^{x+3}$, получим:

$$\frac{9^{x+3}}{2^{x+3}} = 1.$$

Шаг 5: Теперь можно записать это как:

$$\left( \frac{9}{2} \right)^{x+3} = \left( \frac{9}{2} \right)^0.$$

Шаг 6: Поскольку $\left( \frac{9}{2} \right)^0 = 1$, получаем:

$$x + 3 = 0.$$

Шаг 7: Из этого уравнения следует:

$$x = -3.$$

Ответ: $x = -3$.

2). Уравнение:

$$5^{x-2} = 4^{2x-4}$$

Шаг 1: Представляем 4 как $4 = 2^2$, получаем:

$$5^{x-2} = (2^2)^{2x-4}.$$

Шаг 2: Применяем правило степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$5^{x-2} = 16^{x-2}.$$

Шаг 3: Разделим обе части уравнения на $16^{x-2}$, получим:

$$\frac{5^{x-2}}{16^{x-2}} = 1.$$

Шаг 4: Записываем уравнение как:

$$\left( \frac{5}{16} \right)^{x-2} = \left( \frac{5}{16} \right)^0.$$

Шаг 5: Поскольку $\left( \frac{5}{16} \right)^0 = 1$, получаем:

$$x — 2 = 0.$$

Шаг 6: Из этого уравнения следует:

$$x = 2.$$

Ответ: $x = 2$.

3). Уравнение:

$$2^x \cdot 3^x = 36^{x^2}$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения:

$$2^x \cdot 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x.$$

Шаг 2: Теперь у нас уравнение:

$$6^x = 36^{x^2}.$$

Шаг 3: Представляем 36 как $36 = 6^2$, получаем:

$$6^x = (6^2)^{x^2}.$$

Шаг 4: Применяем правило степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$6^x = 6^{2x^2}.$$

Шаг 5: Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$x = 2x^2.$$

Шаг 6: Переносим все в одну сторону:

$$2x^2 — x = 0.$$

Шаг 7: Извлекаем общий множитель:

$$x(2x — 1) = 0.$$

Шаг 8: Получаем два возможных значения для $x$:

$$x_1 = 0 \quad \text{или} \quad x_2 = \frac{1}{2}.$$

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 0,5$.

4). Уравнение:

$$9^{-\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27}$$

Шаг 1: Представляем 9 как $9 = 3^2$, получаем:

$$(3^2)^{-\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27}.$$

Шаг 2: Применяем правило степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$3^{-2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27}.$$

Шаг 3: Представляем 27 как $27 = 3^3$, получаем:

$$3^{-2\sqrt{x-1}} = 3^{-3}.$$

Шаг 4: Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$-2\sqrt{x-1} = -3.$$

Шаг 5: Убираем минусы:

$$2\sqrt{x-1} = 3.$$

Шаг 6: Разделим обе части на 2:

$$\sqrt{x-1} = \frac{3}{2}.$$

Шаг 7: Возводим обе части в квадрат:

$$x — 1 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}.$$

Шаг 8: Прибавляем 1 к обеим частям:

$$x = \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}.$$

Шаг 9: Выражение имеет смысл при $x — 1 \geq 0$, то есть $x \geq 1$, что удовлетворяет нашему решению.

Ответ: $x = 3,25$.

Ответы:

1. $x = -3$
2. $x = 2$
3. $x_1 = 0; \, x_2 = 0,5$
4. $x = 3,25$