ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 224 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х сумма чисел 2^(х-1), 2^(х-4) и 2^(х-2) равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6,5; 3,25; 1,625; …?

Дана сумма чисел $2^{x-1}$, $2^{x-4}$, и $2^{x-2}$ и бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: $6,5$; $3,25$; $1,625$.

Сумма геометрической прогрессии:

$$b_1 = 6,5 = \frac{65}{10} = \frac{13}{2}, \quad b_2 = 3,25 = \frac{325}{100} = \frac{13}{4};$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{13}{4}}{\frac{13}{2}} = \frac{13}{4} : \frac{13}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{6,5}{1 — 0,5} = \frac{6,5}{0,5} = \frac{65}{5} = 13;$$

Сумма чисел равна сумме геометрической прогрессии, значит:

$$2^{x-1} + 2^{x-4} + 2^{x-2} = 13;$$ $$2^x \cdot (2^{-1} + 2^{-4} + 2^{-2}) = 13;$$ $$2^x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4}\right) = 13;$$ $$2^x \cdot \left(\frac{8}{16} + \frac{1}{16} + \frac{4}{16}\right) = 13;$$ $$2^x \cdot \frac{13}{16} = 13;$$ $$2^x = 16;$$ $$2^x = 2^4, \text{отсюда } x = 4;$$

Ответ: $x = 4$.

В задаче дана сумма чисел $2^{x-1}$, $2^{x-4}$, и $2^{x-2}$, а также бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с членами $6,5$, $3,25$ и $1,625$. Нужно найти значение $x$, при котором сумма чисел равна сумме членов геометрической прогрессии.

1. Сумма геометрической прогрессии

Для начала рассмотрим геометрическую прогрессию: $6,5$; $3,25$; $1,625$. Эти числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, то есть каждое следующее число получается умножением предыдущего на постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии.

1.1. Нахождение знаменателя прогрессии $q$:

Нам известны два первых члена прогрессии:

$$b_1 = 6,5, \quad b_2 = 3,25.$$

Знаменатель прогрессии $q$ можно найти как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3,25}{6,5}.$$

Чтобы упростить это выражение, переведем числа в дроби:

$$b_1 = 6,5 = \frac{65}{10} = \frac{13}{2}, \quad b_2 = 3,25 = \frac{325}{100} = \frac{13}{4}.$$

Теперь можем вычислить $q$:

$$q = \frac{\frac{13}{4}}{\frac{13}{2}} = \frac{13}{4} \div \frac{13}{2} = \frac{13}{4} \times \frac{2}{13} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

1.2. Нахождение суммы бесконечной геометрической прогрессии:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим известные значения:

$$S = \frac{6,5}{1 — 0,5} = \frac{6,5}{0,5} = 13.$$

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 13.

2. Сумма чисел

Теперь перейдем к сумме чисел $2^{x-1}$, $2^{x-4}$, и $2^{x-2}$. По условию задачи эта сумма должна быть равна 13, то есть:

$$2^{x-1} + 2^{x-4} + 2^{x-2} = 13.$$

2.1. Преобразование суммы чисел:

Для удобства вычислений можно вынести общий множитель $2^x$ из каждого слагаемого:

$$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1}, \quad 2^{x-4} = 2^x \cdot 2^{-4}, \quad 2^{x-2} = 2^x \cdot 2^{-2}.$$

Таким образом, сумма становится:

$$2^x \cdot \left( 2^{-1} + 2^{-4} + 2^{-2} \right) = 13.$$

2.2. Упрощение выражения в скобках:

Теперь упростим выражение в скобках:

$$2^{-1} = \frac{1}{2}, \quad 2^{-4} = \frac{1}{16}, \quad 2^{-2} = \frac{1}{4}.$$

Подставим эти значения:

$$2^x \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} \right) = 13.$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{2} = \frac{8}{16}, \quad \frac{1}{4} = \frac{4}{16}.$$

Тогда:

$$2^x \cdot \left( \frac{8}{16} + \frac{1}{16} + \frac{4}{16} \right) = 13.$$

Теперь сложим дроби в скобках:

$$\frac{8}{16} + \frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{13}{16}.$$

Таким образом, у нас получается:

$$2^x \cdot \frac{13}{16} = 13.$$

2.3. Решение для $2^x$:

Теперь умножим обе части уравнения на 16, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2^x \cdot 13 = 13 \cdot 16.$$

Упростим:

$$2^x \cdot 13 = 208.$$

Теперь разделим обе части на 13:

$$2^x = \frac{208}{13} = 16.$$

2.4. Нахождение $x$:

Теперь у нас есть уравнение:

$$2^x = 16.$$

Поскольку $16 = 2^4$, получаем:

$$2^x = 2^4.$$

Из этого следует, что:

$$x = 4.$$

Ответ:

$$x = 4.$$