ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 222 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^(x+3) +3x = 7^(x+1) + 5*7x;
2. 3^(x+4) + 3* 5^(x+3) = 5^(x+4) + 3^(x+3);
3. 2^(8-x) +7^(3-x) = 7^(4-x) + 2^(3-x) * 11;
4. 2^(x+1) +2^(x-1) — 3^(x-1) = 3^(x-2) — 2^(x-3) + 2*3^(x-3).

1)

$$3^{x+3} + 3^x = 7^{x+1} + 5 \cdot 7^x;$$ $$3^x \cdot (3^3 + 1) = 7^x \cdot (7^1 + 5);$$ $$3^x \cdot (27 + 1) = 7^x \cdot (7 + 5);$$ $$3^x \cdot 28 = 7^x \cdot 12;$$ $$\frac{3^x}{7^x} = \frac{12}{28};$$ $$\left(\frac{3}{7}\right)^x = \frac{3}{7}, \text{отсюда } x = 1;$$

Ответ: $x = 1$.

2)

$$3^{x+4} + 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3};$$ $$3^{x+4} — 3^{x+3} = 5^{x+4} — 3 \cdot 5^{x+3};$$ $$3^x \cdot (3^4 — 3^3) = 5^x \cdot (5^4 — 3 \cdot 5^3);$$ $$3^x \cdot (81 — 27) = 5^x \cdot (625 — 3 \cdot 125);$$ $$3^x \cdot 54 = 5^x \cdot 250;$$ $$\frac{3^x}{5^x} = \frac{250}{54};$$ $$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{125}{27};$$ $$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{5}{3}\right)^3;$$ $$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{-3}, \text{отсюда } x = -3;$$

Ответ: $x = -3$.

3)

$$2^{8-x} + 7^{3-x} = 7^{4-x} + 2^{3-x} \cdot 11;$$ $$2^{8-x} — 11 \cdot 2^{3-x} = 7^{4-x} — 7^{3-x};$$ $$2^{-x} \cdot (2^8 + 11 \cdot 2^3) = 7^{-x} \cdot (7^4 — 7^3);$$ $$2^{-x} \cdot (256 + 11 \cdot 8) = 7^{-x} \cdot (2401 — 343);$$ $$2^{-x} \cdot 168 = 7^{-x} \cdot 2058;$$ $$\frac{2^{-x}}{7^{-x}} = \frac{2058}{168};$$ $$\left(\frac{2}{7}\right)^{-x} = \frac{49}{4};$$ $$\left(\frac{7}{2}\right)^x = \left(\frac{7}{2}\right)^2, \text{отсюда } x = 2;$$

Ответ: $x = 2$.

4)

$$2^{x+1} + 2^{x-1} — 3^{x-1} = 3^{x-2} — 2^{x-3} + 2 \cdot 3^{x-3};$$ $$2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^{x-3} = 3^{x-2} + 3^{x-1} + 2 \cdot 3^{x-3};$$ $$2^x \cdot (2^1 + 2^{-1} + 2^{-3}) = 3^x \cdot (3^{-2} + 3^{-1} + 2 \cdot 3^{-3});$$ $$2^x \cdot \left(2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8}\right) = 3^x \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{3} + \frac{2}{27}\right);$$ $$2^x \cdot \left(\frac{16}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8}\right) = 3^x \cdot \left(\frac{3}{27} + \frac{9}{27} + \frac{2}{27}\right);$$ $$2^x \cdot \frac{21}{8} = 3^x \cdot \frac{14}{27};$$ $$\frac{2^x}{3^x} = \frac{14}{27} \cdot \frac{8}{21};$$ $$\frac{2^x}{3^x} = \frac{16}{81};$$ $$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^4, \text{отсюда } x = 4;$$

Ответ: $x = 4$.

1) Решаем уравнение:

$$3^{x+3} + 3^x = 7^{x+1} + 5 \cdot 7^x$$

Шаг 1. Разложим степени:

$$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 3^x \cdot 27, \quad 7^{x+1} = 7^x \cdot 7^1 = 7^x \cdot 7$$

Подставляем в уравнение:

$$3^x \cdot 27 + 3^x = 7^x \cdot 7 + 5 \cdot 7^x$$

Шаг 2. Вынесем множители за скобки:

$$3^x \cdot (27 + 1) = 7^x \cdot (7 + 5)$$ $$3^x \cdot 28 = 7^x \cdot 12$$

Шаг 3. Разделим обе части на $7^x \cdot 28$:

$$\frac{3^x}{7^x} = \frac{12}{28}$$ $$\frac{3^x}{7^x} = \frac{3}{7}$$

Шаг 4. Запишем дробь в показательной форме:

$$\left(\frac{3}{7}\right)^x = \frac{3}{7}$$

Так как $\frac{3}{7}^x = \frac{3}{7}^1$, то:

$$x = 1$$

Ответ:
$x = 1$.

2) Решаем уравнение:

$$3^{x+4} + 3 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+4} + 3^{x+3}$$

Шаг 1. Разложим степени:

$$3^{x+4} = 3^x \cdot 3^4 = 3^x \cdot 81, \quad 5^{x+4} = 5^x \cdot 5^4 = 5^x \cdot 625$$ $$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 3^x \cdot 27, \quad 5^{x+3} = 5^x \cdot 5^3 = 5^x \cdot 125$$

Подставляем в уравнение:

$$3^x \cdot 81 + 3 \cdot 5^x \cdot 125 = 5^x \cdot 625 + 3^x \cdot 27$$

Шаг 2. Переносим слагаемые:

$$3^x \cdot 81 — 3^x \cdot 27 = 5^x \cdot 625 — 3 \cdot 5^x \cdot 125$$

Шаг 3. Вынесем множители:

$$3^x \cdot (81 — 27) = 5^x \cdot (625 — 375)$$ $$3^x \cdot 54 = 5^x \cdot 250$$

Шаг 4. Разделим обе части на $5^x \cdot 54$:

$$\frac{3^x}{5^x} = \frac{250}{54}$$

Шаг 5. Приведём дробь к удобному виду:

$$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{125}{27}$$

Шаг 6. Представим дробь в виде степени:

$$\frac{125}{27} = \left(\frac{5}{3}\right)^3$$ $$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{-3}$$

Так как основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$x = -3$$

Ответ:
$x = -3$.

3) Решаем уравнение:

$$2^{8-x} + 7^{3-x} = 7^{4-x} + 2^{3-x} \cdot 11$$

Шаг 1. Перенесём слагаемые:

$$2^{8-x} — 11 \cdot 2^{3-x} = 7^{4-x} — 7^{3-x}$$

Шаг 2. Вынесем множители:

$$2^{-x} \cdot (2^8 + 11 \cdot 2^3) = 7^{-x} \cdot (7^4 — 7^3)$$

Шаг 3. Подсчитаем выражения в скобках:

$$2^8 = 256, \quad 11 \cdot 2^3 = 88$$ $$7^4 = 2401, \quad 7^3 = 343$$ $$2^{-x} \cdot (256 + 88) = 7^{-x} \cdot (2401 — 343)$$ $$2^{-x} \cdot 344 = 7^{-x} \cdot 2058$$

Шаг 4. Разделим обе части на $7^{-x} \cdot 344$:

$$\frac{2^{-x}}{7^{-x}} = \frac{2058}{344}$$

Шаг 5. Запишем дробь в показательной форме:

$$\left(\frac{2}{7}\right)^{-x} = \frac{49}{4}$$

Шаг 6. Перепишем:

$$\left(\frac{7}{2}\right)^x = \left(\frac{7}{2}\right)^2$$

Приравниваем показатели:

$$x = 2$$

Ответ:
$x = 2$.

4) Решаем уравнение:

$$2^{x+1} + 2^{x-1} — 3^{x-1} = 3^{x-2} — 2^{x-3} + 2 \cdot 3^{x-3}$$

Шаг 1. Группируем слагаемые:

$$2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^{x-3} = 3^{x-2} + 3^{x-1} + 2 \cdot 3^{x-3}$$

Шаг 2. Вынесем множители:

$$2^x \cdot \left(2^1 + 2^{-1} + 2^{-3}\right) = 3^x \cdot \left(3^{-2} + 3^{-1} + 2 \cdot 3^{-3}\right)$$

Шаг 3. Посчитаем коэффициенты:

$$2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{16}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{21}{8}$$ $$\frac{1}{9} + \frac{1}{3} + \frac{2}{27} = \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + \frac{2}{27} = \frac{14}{27}$$ $$2^x \cdot \frac{21}{8} = 3^x \cdot \frac{14}{27}$$

Шаг 4. Выражаем дробь:

$$\frac{2^x}{3^x} = \frac{16}{81}$$ $$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^4$$ $$x = 4$$

Ответ:
$x = 4$.