ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 22 Алимов — Подробные Ответы

1. q=1/2, b5=корень 2/16;
2. q=корень 3/2, b4= 9/8.

1)

$q=\frac{1}{2}$ и $b_5=\frac{\sqrt{2}}{16};$

$b_5=b_1\cdot q^4$, отсюда $b_1=\frac{b_5}{q^4};$

$b_1=\frac{\sqrt{2}}{16}:{\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{\sqrt{2}}{16}:\frac{1}{16}=\frac{\sqrt{2}}{16}\cdot 16=\sqrt{2};$

$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{2}:\frac{1}{2}=\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2};$

Ответ: $2\sqrt{2}\mathrm{.}$

2)

$q=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $b_4=\frac{9}{8};$

$b_4=b_1\cdot q^3$, отсюда $b_1=\frac{b_4}{q^3};$

$b_1=\frac{9}{8}:{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{9}{8}:\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{9}{8}\cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3};$

$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sqrt{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}:\frac{2-\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\cdot \frac{2}{2-\sqrt{3}};$

$S=\sqrt{3}\cdot \frac{2(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\sqrt{3}\cdot \frac{2(2+\sqrt{3})}{4-3}=\sqrt{3}\cdot 2(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}(2+\sqrt{3});$

Ответ: $2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})\mathrm{.}$

1)

Условие:

• $q=\frac{1}{2}$ — знаменатель геометрической прогрессии.
• $b_5=\frac{\sqrt{2}}{16}$ — 5-й член прогрессии.

Задача: Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$ и первый член $b_1$.

Шаг 1: Найдем первый член $b_1$

Задача начинается с того, что известно значение пятого члена прогрессии $b_5$ и знаменатель прогрессии $q$. Поскольку $b_5$ является 5-м членом геометрической прогрессии, его можно выразить через первый член $b_1$ и знаменатель $q$, используя формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}\mathrm{.}$$

Для 5-го члена:

$$b_5=b_1\cdot q^4\mathrm{.}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{\sqrt{2}}{16}=b_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4\mathrm{.}$$$$\frac{\sqrt{2}}{16}=b_1\cdot \frac{1}{16}\mathrm{.}$$

Теперь, чтобы найти $b_1$, умножим обе стороны на 16:

$$b_1=\frac{\sqrt{2}}{16}\cdot 16=\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Найдем сумму прогрессии $S$

Теперь, зная первый член $b_1=\sqrt{2}$ и знаменатель прогрессии $q=\frac{1}{2}$, можем найти сумму бесконечной геометрической прогрессии по формуле:

$$S=\frac{b_1}{1-q}\mathrm{.}$$

Подставляем значения:

$$S=\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

Деление на $\frac{1}{2}$ эквивалентно умножению на 2:

$$S=\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$S=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$

2)

Условие:

• $q=\frac{\sqrt{3}}{2}$ — знаменатель геометрической прогрессии.
• $b_4=\frac{9}{8}$ — 4-й член прогрессии.

Задача: Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$ и первый член $b_1$.

Шаг 1: Найдем первый член $b_1$

Из условия задачи известно, что $b_4=\frac{9}{8}$. Мы можем выразить 4-й член через первый $b_1$ и знаменатель $q$ по формуле для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}\mathrm{.}$$

Для 4-го члена:

$$b_4=b_1\cdot q^3\mathrm{.}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{9}{8}=b_1\cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3\mathrm{.}$$

Вычислим ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3$:

$${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{3\sqrt{3}}{8}\mathrm{.}$$

Теперь подставим это значение:

$$\frac{9}{8}=b_1\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}\mathrm{.}$$

Умножим обе стороны на $\frac{8}{3\sqrt{3}}$, чтобы выразить $b_1$:

$$b_1=\frac{9}{8}\cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{9}{3\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Упростим $\frac{3}{\sqrt{3}}$:

$$b_1=\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Найдем сумму прогрессии $S$

Теперь, зная первый член $b_1=\sqrt{3}$ и знаменатель прогрессии $q=\frac{\sqrt{3}}{2}$, можем найти сумму бесконечной геометрической прогрессии по формуле:

$$S=\frac{b_1}{1-q}\mathrm{.}$$

Подставим значения:

$$S=\frac{\sqrt{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$

Чтобы упростить дробь в знаменателе, вычислим $1-\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Теперь выразим сумму:

$$S=\frac{\sqrt{3}}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}\cdot \frac{2}{2-\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Упростим дробь

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2+\sqrt{3}$:

$$S=\sqrt{3}\cdot \frac{2(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\mathrm{.}$$

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов:

$$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=4-3=1.$$

Таким образом, выражение для суммы упрощается до:

$$S=\sqrt{3}\cdot 2(2+\sqrt{3})\mathrm{.}$$

Шаг 4: Финальное упрощение

Раскроем скобки:

$$S=2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})\mathrm{.}$$

Ответ:

$$S=2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})\mathrm{.}$$