ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 22 Алимов — Подробные Ответы

1. q=1/2, b5=корень 2/16;
2. q=корень 3/2, b4= 9/8.

1)

$q = \frac{1}{2}$ и $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16};$

$b_5 = b_1 \cdot q^4$, отсюда $b_1 = \frac{b_5}{q^4};$

$b_1 = \frac{\sqrt{2}}{16} : \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{\sqrt{2}}{16} : \frac{1}{16} = \frac{\sqrt{2}}{16} \cdot 16 = \sqrt{2};$

$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\sqrt{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \sqrt{2} : \frac{1}{2} = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2};$

Ответ: $2\sqrt{2}.$

2)

$q = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $b_4 = \frac{9}{8};$

$b_4 = b_1 \cdot q^3$, отсюда $b_1 = \frac{b_4}{q^3};$

$b_1 = \frac{9}{8} : \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{9}{8} : \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3};$

$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\sqrt{3}}{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} : \frac{2 — \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2 — \sqrt{3}};$

$S = \sqrt{3} \cdot \frac{2(2 + \sqrt{3})}{(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \sqrt{3} \cdot \frac{2(2 + \sqrt{3})}{4 — 3} = \sqrt{3} \cdot 2(2 + \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3});$

Ответ: $2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}).$

1)

Условие:

• $q = \frac{1}{2}$ — знаменатель геометрической прогрессии.
• $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{16}$ — 5-й член прогрессии.

Задача: Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$ и первый член $b_1$.

Шаг 1: Найдем первый член $b_1$

Задача начинается с того, что известно значение пятого члена прогрессии $b_5$ и знаменатель прогрессии $q$. Поскольку $b_5$ является 5-м членом геометрической прогрессии, его можно выразить через первый член $b_1$ и знаменатель $q$, используя формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$$

Для 5-го члена:

$$b_5 = b_1 \cdot q^{4}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4.$$ $$\frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \frac{1}{16}.$$

Теперь, чтобы найти $b_1$, умножим обе стороны на 16:

$$b_1 = \frac{\sqrt{2}}{16} \cdot 16 = \sqrt{2}.$$

Шаг 2: Найдем сумму прогрессии $S$

Теперь, зная первый член $b_1 = \sqrt{2}$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$, можем найти сумму бесконечной геометрической прогрессии по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем значения:

$$S = \frac{\sqrt{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}.$$

Деление на $\frac{1}{2}$ эквивалентно умножению на 2:

$$S = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}.$$

Ответ:

$$S = 2\sqrt{2}.$$

2)

Условие:

• $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — знаменатель геометрической прогрессии.
• $b_4 = \frac{9}{8}$ — 4-й член прогрессии.

Задача: Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$ и первый член $b_1$.

Шаг 1: Найдем первый член $b_1$

Из условия задачи известно, что $b_4 = \frac{9}{8}$. Мы можем выразить 4-й член через первый $b_1$ и знаменатель $q$ по формуле для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$$

Для 4-го члена:

$$b_4 = b_1 \cdot q^3.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{9}{8} = b_1 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3.$$

Вычислим $\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3$:

$$\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}.$$

Теперь подставим это значение:

$$\frac{9}{8} = b_1 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}.$$

Умножим обе стороны на $\frac{8}{3\sqrt{3}}$, чтобы выразить $b_1$:

$$b_1 = \frac{9}{8} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}.$$

Упростим $\frac{3}{\sqrt{3}}$:

$$b_1 = \sqrt{3}.$$

Шаг 2: Найдем сумму прогрессии $S$

Теперь, зная первый член $b_1 = \sqrt{3}$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$, можем найти сумму бесконечной геометрической прогрессии по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим значения:

$$S = \frac{\sqrt{3}}{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}.$$

Чтобы упростить дробь в знаменателе, вычислим $1 — \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$1 — \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 — \sqrt{3}}{2}.$$

Теперь выразим сумму:

$$S = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2 — \sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2 — \sqrt{3}}.$$

Шаг 3: Упростим дробь

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2 + \sqrt{3}$:

$$S = \sqrt{3} \cdot \frac{2(2 + \sqrt{3})}{(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}.$$

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов:

$$(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 — (\sqrt{3})^2 = 4 — 3 = 1.$$

Таким образом, выражение для суммы упрощается до:

$$S = \sqrt{3} \cdot 2(2 + \sqrt{3}).$$

Шаг 4: Финальное упрощение

Раскроем скобки:

$$S = 2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}).$$

Ответ:

$$S = 2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}).$$