ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 218 Алимов — Подробные Ответы

1. 7х-7^(х-1) = 6;
2. 3^(2y-1) + 3^(2y-2) — 3^(2y-4) = 315;
3. 5^3х + 3* 5^(3х-2) = 140;
4. 2^(х + 1) + 3 * 2^(х-1) — 5 * 2^х + 6 = 0.

1)

$$7^x — 7^{x-1} = 6;$$ $$7^x \cdot (1 — 7^{-1}) = 6;$$ $$7^x \cdot \left(\frac{7}{7} — \frac{1}{7}\right) = 6;$$ $$7^x \cdot \frac{6}{7} = 6;$$ $$7^x = 7, \text{отсюда } x = 1;$$

Ответ: $x = 1$.

2)

$$3^{2y-1} + 3^{2y-2} — 3^{2y-4} = 315;$$ $$3^{2y} \cdot (3^{-1} + 3^{-2} — 3^{-4}) = 315;$$ $$3^{2y} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} — \frac{1}{81}\right) = 315;$$ $$3^{2y} \cdot \left(\frac{27}{81} + \frac{9}{81} — \frac{1}{81}\right) = 315;$$ $$3^{2y} \cdot \frac{35}{81} = 315;$$ $$3^{2y} \cdot 35 = 315 \cdot 81;$$ $$3^{2y} = 729;$$ $$3^{2y} = 3^6, \text{отсюда } 2y = 6, \text{отсюда } y = 3;$$

Ответ: $y = 3$.

3)

$$5^{3x} + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140;$$ $$5^{3x} \cdot (1 + 3 \cdot 5^{-2}) = 140;$$ $$5^{3x} \cdot \left(1 + \frac{3}{25}\right) = 140;$$ $$5^{3x} \cdot \left(\frac{25}{25} + \frac{3}{25}\right) = 140;$$ $$5^{3x} \cdot \frac{28}{25} = 140;$$ $$5^{3x} = 125;$$ $$5^{3x} = 5^3, \text{отсюда } 3x = 3, \text{отсюда } x = 1;$$

Ответ: $x = 1$.

4)

$$2^{x+1} + 3 \cdot 2^{x-1} — 5 \cdot 2^x + 6 = 0;$$ $$2^x \cdot (2^1 + 3 \cdot 2^{-1} — 5) = -6;$$ $$2^x \cdot \left(2 + \frac{3}{2} — 5\right) = -6;$$ $$2^x \cdot \left(\frac{4}{2} + \frac{3}{2} — \frac{10}{2}\right) = -6;$$ $$2^x \cdot \left(\frac{3}{2} — \frac{6}{2}\right) = -6;$$ $$2^x \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -6;$$ $$2^x = 4;$$ $$2^x = 2^2, \text{отсюда } x = 2;$$

Ответ: $x = 2$.

1) Решение уравнения:

$$7^x — 7^{x-1} = 6$$

Приведем выражения с одинаковым основанием. Для этого воспользуемся свойством степеней: $7^{x-1} = \frac{7^x}{7}$.

$$7^x — \frac{7^x}{7} = 6$$

Вынесем $7^x$ за скобки:

$$7^x \left( 1 — \frac{1}{7} \right) = 6$$

Упростим выражение в скобках:

$$1 — \frac{1}{7} = \frac{7}{7} — \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$7^x \cdot \frac{6}{7} = 6$$

Умножим обе части на $\frac{7}{6}$, чтобы избавиться от коэффициента $\frac{6}{7}$ в левой части:

$$7^x = 7$$

Мы видим, что $7^x = 7^1$, следовательно, $x = 1$.

Ответ: $x = 1$

2) Решение уравнения:

$$3^{2y-1} + 3^{2y-2} — 3^{2y-4} = 315$$

Вынесем $3^{2y-4}$ за скобки:

$$3^{2y-4} \left( 3^3 + 3^2 — 3^0 \right) = 315$$

Посчитаем значения степеней:

$$3^3 = 27, \quad 3^2 = 9, \quad 3^0 = 1$$

Таким образом, уравнение станет:

$$3^{2y-4} \cdot (27 + 9 — 1) = 315$$

Упростим выражение в скобках:

$$27 + 9 — 1 = 35$$

Тогда уравнение примет вид:

$$3^{2y-4} \cdot 35 = 315$$

Разделим обе части уравнения на 35:

$$3^{2y-4} = \frac{315}{35} = 9$$

Поскольку $9 = 3^2$, получаем:

$$3^{2y-4} = 3^2$$

Приравняем показатели степени:

$$2y — 4 = 2$$

Решим полученное линейное уравнение:

$$2y = 6 \quad \Rightarrow \quad y = 3$$

Ответ: $y = 3$

3) Решение уравнения:

$$5^{3x} + 3 \cdot 5^{3x-2} = 140$$

Вынесем $5^{3x-2}$ за скобки:

$$5^{3x-2} \left( 5^2 + 3 \right) = 140$$

Посчитаем значение $5^2$:

$$5^2 = 25$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$5^{3x-2} \cdot (25 + 3) = 140$$

Упростим выражение в скобках:

$$25 + 3 = 28$$

Тогда уравнение станет:

$$5^{3x-2} \cdot 28 = 140$$

Разделим обе части уравнения на 28:

$$5^{3x-2} = \frac{140}{28} = 5$$

Поскольку $5 = 5^1$, получаем:

$$5^{3x-2} = 5^1$$

Приравняем показатели степени:

$$3x — 2 = 1$$

Решим полученное линейное уравнение:

$$3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Ответ: $x = 1$

4) Решение уравнения:

$$2^{x+1} + 3 \cdot 2^{x-1} — 5 \cdot 2^x + 6 = 0$$

Вынесем $2^x$ за скобки в каждом выражении:

$$2^x \cdot (2^1 + 3 \cdot 2^{-1} — 5) + 6 = 0$$

Посчитаем выражения:

$$2^1 = 2, \quad 2^{-1} = \frac{1}{2}, \quad 5 = 5$$

Тогда уравнение станет:

$$2^x \cdot \left( 2 + \frac{3}{2} — 5 \right) + 6 = 0$$

Приведем выражения внутри скобок:

$$2 + \frac{3}{2} — 5 = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} — \frac{10}{2} = \frac{3}{2} — \frac{6}{2} = -\frac{3}{2}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2^x \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) + 6 = 0$$

Умножим $2^x$ на $-\frac{3}{2}$:

$$— \frac{3}{2} \cdot 2^x + 6 = 0$$

Переносим $6$ в правую часть:

$$— \frac{3}{2} \cdot 2^x = -6$$

Умножим обе части уравнения на $-\frac{2}{3}$, чтобы избавиться от коэффициента $-\frac{3}{2}$:

$$2^x = 4$$

Поскольку $4 = 2^2$, получаем:

$$2^x = 2^2$$

Приравняем показатели степени:

$$x = 2$$

Ответ: $x = 2$

Итоговые ответы:

1. $x = 1$
2. $y = 3$
3. $x = 1$
4. $x = 2$