ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 217 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^x2* (1/2)^1/4x = корень 4 степени 8;
2. 5^0,1x*(1/5)^-0,06 = 5^x2;
3. (1/2)^(корень (1-x)) * (1/2)^-1 = (1/2)2x;
4. 0,7^(корень (x+12) * 0,7 ^-2 =0,7^корень x.

1)

$2^{x^2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{4}x} = \sqrt[4]{8};$
$2^{x^2} \cdot 2^{-\frac{1}{4}x} = \sqrt[4]{2^3};$
$2^{x^2 — \frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}};$
$x^2 — \frac{1}{4}x = \frac{3}{4};$
$4x^2 — x = 3;$
$4x^2 — x — 3 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 48 = 49, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -0.75;$
$x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1;$
Ответ: $x_1 = -0.75; \quad x_2 = 1$.

2)

$5^{0.1x} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-0.06} = 5^{x^2};$
$5^{0.1x} \cdot 5^{0.06} = 5^{x^2};$
$5^{0.1x + 0.06} = 5^{x^2};$
$0.1x + 0.06 = x^2;$
$10x + 6 = 100x^2;$
$100x^2 — 10x — 6 = 0;$
$D = 10^2 + 4 \cdot 100 \cdot 6 = 100 + 2400 = 2500, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{10 — 50}{2 \cdot 100} = \frac{-40}{200} = -0.2;$
$x_2 = \frac{10 + 50}{2 \cdot 100} = \frac{60}{200} = 0.3;$
Ответ: $x_1 = -0.2; \quad x_2 = 0.3$.

3)

$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{1-x}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x};$
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{1-x} — 1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x};$
$\sqrt{1-x} — 1 = 2x;$
$\sqrt{1-x} = 2x + 1;$
$1 — x = 4x^2 + 4x + 1;$
$4x^2 + 5x = 0;$
$x(4x + 5) = 0;$
$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{5}{4} = -1.25;$
Выражение имеет смысл при:
$1 — x \geq 0, \text{отсюда } x \leq 1;$
Уравнение имеет решения при:
$2x + 1 \geq 0;$
$2x \geq -1, \text{отсюда } x \geq -\frac{1}{2};$
Ответ: $x = 0$.

4)

$0.7^{\sqrt{x+12}} \cdot 0.7^{-2} = 0.7^{\sqrt{x}};$
$0.7^{\sqrt{x+12} — 2} = 0.7^{\sqrt{x}};$
$\sqrt{x+12} — 2 = \sqrt{x};$
$\sqrt{x+12} = \sqrt{x} + 2;$
$x + 12 = x + 4\sqrt{x} + 4;$
$8 = 4\sqrt{x};$
$2 = \sqrt{x}, \text{отсюда } x = 4;$
Выражение имеет смысл при:
$x + 12 \geq 0, \text{отсюда } x \geq -12;$
Ответ: $x = 4$.

1)

Уравнение:

$$2^{x^2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{4}x} = \sqrt[4]{8}$$

Шаг 1: Преобразование выражений с одинаковыми основаниями
Заменим $\frac{1}{4}$ на $2^{-2}$, а также $\sqrt[4]{8}$ на $2^{3/4}$, чтобы привести все выражения к основанию 2:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{4}x} = (2^{-2})^{\frac{1}{4}x} = 2^{-\frac{1}{2}x}$$

Теперь уравнение имеет вид:

$$2^{x^2} \cdot 2^{-\frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}}$$

Шаг 2: Применение свойства степеней
Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для приведения выражений с одинаковыми основаниями:

$$2^{x^2 — \frac{1}{4}x} = 2^{\frac{3}{4}}$$

Шаг 3: Приравнивание показателей степени
Так как основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$x^2 — \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}$$

Шаг 4: Умножение на 4 для устранения дробей
Умножим обе стороны уравнения на 4:

$$4x^2 — x = 3$$

Шаг 5: Приведение к квадратному уравнению
Переносим все на одну сторону:

$$4x^2 — x — 3 = 0$$

Шаг 6: Нахождение дискриминанта
Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант рассчитывается по формуле $D = b^2 — 4ac$. В нашем случае:

$$a = 4, \quad b = -1, \quad c = -3$$ $$D = (-1)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$$

Шаг 7: Решение уравнения с использованием дискриминанта
Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 — 7}{8} = \frac{-6}{8} = -0.75$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

Ответ: $x_1 = -0.75$, $x_2 = 1$.

2)

Уравнение:

$$5^{0.1x} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-0.06} = 5^{x^2}$$

Шаг 1: Преобразование выражений с одинаковыми основаниями
Заменим $\frac{1}{5}$ на $5^{-1}$, и уравнение примет вид:

$$5^{0.1x} \cdot 5^{-(-0.06)} = 5^{x^2}$$ $$5^{0.1x} \cdot 5^{0.06} = 5^{x^2}$$

Шаг 2: Применение свойства степеней
Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$5^{0.1x + 0.06} = 5^{x^2}$$

Шаг 3: Приравнивание показателей степени
Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$0.1x + 0.06 = x^2$$

Шаг 4: Приведение к квадратному уравнению
Умножим обе стороны на 10, чтобы избавиться от десятичных чисел:

$$10x + 6 = 100x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$100x^2 — 10x — 6 = 0$$

Шаг 5: Нахождение дискриминанта
Вычисляем дискриминант:

$$a = 100, \quad b = -10, \quad c = -6$$ $$D = (-10)^2 — 4 \cdot 100 \cdot (-6) = 100 + 2400 = 2500$$

Шаг 6: Решение уравнения с использованием дискриминанта
Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{2500}}{2 \cdot 100} = \frac{10 — 50}{200} = \frac{-40}{200} = -0.2$$ $$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{2500}}{2 \cdot 100} = \frac{10 + 50}{200} = \frac{60}{200} = 0.3$$

Ответ: $x_1 = -0.2$, $x_2 = 0.3$.

3)

Уравнение:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{1-x}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$$

Шаг 1: Преобразование выражений с одинаковыми основаниями
Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{1-x} — 1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$$

Шаг 2: Приравнивание показателей степени
Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$\sqrt{1-x} — 1 = 2x$$

Шаг 3: Решение уравнения
Переносим $-1$ на правую сторону:

$$\sqrt{1-x} = 2x + 1$$

Шаг 4: Возведение обеих сторон в квадрат
Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$1 — x = (2x + 1)^2$$

Раскрываем скобки:

$$1 — x = 4x^2 + 4x + 1$$

Переносим все на одну сторону:

$$0 = 4x^2 + 5x$$

Шаг 5: Выделение общего множителя
Вынесем $x$ за скобки:

$$x(4x + 5) = 0$$

Шаг 6: Решение уравнения
Получаем два решения:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{5}{4} = -1.25$$

Шаг 7: Проверка значений
Выражение $\sqrt{1-x}$ имеет смысл, если $1 — x \geq 0$, то есть $x \leq 1$.
Для $2x + 1 \geq 0$, получаем $x \geq -\frac{1}{2}$.
Следовательно, из двух решений только $x = 0$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $x = 0$.

4)

Уравнение:

$$0.7^{\sqrt{x+12}} \cdot 0.7^{-2} = 0.7^{\sqrt{x}}$$

Шаг 1: Преобразование выражений с одинаковыми основаниями
Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$0.7^{\sqrt{x+12} — 2} = 0.7^{\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Приравнивание показателей степени
Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$\sqrt{x+12} — 2 = \sqrt{x}$$

Шаг 3: Решение уравнения
Переносим $-2$ на правую сторону:

$$\sqrt{x+12}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$x + 12 = x + 4\sqrt{x} + 4$$

Переносим все на одну сторону:

$$8 = 4\sqrt{x}$$

Делим на 4:

$$2 = \sqrt{x}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$x = 4$$

Шаг 4: Проверка значений
Выражение $\sqrt{x+12}$ имеет смысл, если $x + 12 \geq 0$, то есть $x \geq -12$.
Решение $x = 4$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $x = 4$.