ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 210 Алимов — Подробные Ответы

1. 3*9x =81;
2. 2*4x=64;
3. 3^(x+1/2)*3^(x-2) =1;
4. 0,5^(x+7) * 0,5^(1-2x) = 2;
5. 0,6x *0,6^3 = 0,6^2x/ 0,6^5;
6. 6^3x *1/6 = 6* (1/6)^2x.

1. $3 \cdot 9^x = 81$;
   $3 \cdot 3^{2x} = 3^4$;
   $3^{1+2x} = 3^4$;
   $1 + 2x = 4$;
   $2x = 3$, отсюда $x = 1.5$;
   Ответ: $x = 1.5$.
2. $2 \cdot 4^x = 64$;
   $2 \cdot 2^{2x} = 2^6$;
   $2^{1+2x} = 2^6$;
   $1 + 2x = 6$;
   $2x = 5$, отсюда $x = 2.5$;
   Ответ: $x = 2.5$.
3. $3^{x+\frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1$;
   $3^{x+\frac{1}{2}} = \frac{1}{3^{x-2}}$;
   $3^{x+\frac{1}{2}} = 3^{-(x-2)}$;
   $x + \frac{1}{2} = -(x — 2)$;
   $x + 0.5 = 2 — x$;
   $2x = 1.5$, отсюда $x = 0.75$;
   Ответ: $x = 0.75$.
4. $0.5^{x+7} \cdot 0.5^{1-2x} = 2$;
   $0.5^{x+7+1-2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$;
   $0.5^{8-x} = 0.5^{-1}$;
   $8 — x = -1$;
   $-x = -9$, отсюда $x = 9$;
   Ответ: $x = 9$.
5. $0.6^x \cdot 0.6^3 = \frac{0.6^{2x}}{0.6^5}$;
   $0.6^{x+3} = 0.6^{2x-5}$;
   $x + 3 = 2x — 5$;
   $-x = -8$, отсюда $x = 8$;
   Ответ: $x = 8$.
6. $6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}$;
   $\frac{6^{3x}}{6^1} = \frac{6^1}{6^{2x}}$;
   $6^{3x-1} = 6^{1-2x}$;
   $3x — 1 = 1 — 2x$;
   $5x = 2$, отсюда $x = 0.4$;
   Ответ: $x = 0.4$.

1) $3 \cdot 9^x = 81$

Шаг 1: Преобразуем числа в степенях с одинаковым основанием.
Мы знаем, что:

$$9 = 3^2 \quad \text{и} \quad 81 = 3^4.$$

Таким образом, выражение можно переписать как:

$$3 \cdot (3^2)^x = 3^4.$$

Шаг 2: Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Тогда получаем:

$$3 \cdot 3^{2x} = 3^4.$$

Шаг 3: Сначала объединим множители с одинаковыми основаниями $3$. Мы знаем, что $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, применяем это свойство:

$$3^{1 + 2x} = 3^4.$$

Шаг 4: Теперь у нас уравнение с одинаковыми основаниями. Следовательно, показатели степени должны быть равны:

$$1 + 2x = 4.$$

Шаг 5: Решим полученное линейное уравнение:

$$2x = 4 — 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} = 1.5.$$

Ответ: $x = 1.5$.

2) $2 \cdot 4^x = 64$

Шаг 1: Запишем 4 и 64 через основание 2.
Мы знаем, что:

$$4 = 2^2 \quad \text{и} \quad 64 = 2^6.$$

Тогда уравнение можно переписать так:

$$2 \cdot (2^2)^x = 2^6.$$

Шаг 2: Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Получаем:

$$2 \cdot 2^{2x} = 2^6.$$

Шаг 3: Объединим множители с одинаковыми основаниями $2$:

$$2^{1 + 2x} = 2^6.$$

Шаг 4: Так как основания одинаковые, показатели степеней должны быть равны:

$$1 + 2x = 6.$$

Шаг 5: Решим линейное уравнение:

$$2x = 6 — 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} = 2.5.$$

Ответ: $x = 2.5$.

3) $3^{x+\frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1$

Шаг 1: Применим свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$3^{x + \frac{1}{2} + x — 2} = 1.$$

Шаг 2: Упростим показатель степени:

$$3^{2x — \frac{3}{2}} = 1.$$

Шаг 3: Поскольку $3^0 = 1$, то показатель степени должен быть равен 0:

$$2x — \frac{3}{2} = 0.$$

Шаг 4: Решим линейное уравнение относительно $x$:

$$2x = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{4} = 0.75.$$

Ответ: $x = 0.75$.

4) $0.5^{x+7} \cdot 0.5^{1-2x} = 2$

Шаг 1: Применим свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$0.5^{(x + 7) + (1 — 2x)} = 2.$$

Шаг 2: Упростим показатель степени:

$$0.5^{8 — x} = 2.$$

Шаг 3: Запишем 2 через основание $0.5$, так как $2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-1}$, и получим:

$$0.5^{8 — x} = 0.5^{-1}.$$

Шаг 4: Поскольку основания одинаковые, показатели степени должны быть равны:

$$8 — x = -1.$$

Шаг 5: Решим линейное уравнение:

$$-x = -1 — 8 = -9 \quad \Rightarrow \quad x = 9.$$

Ответ: $x = 9$.

5) $0.6^x \cdot 0.6^3 = \frac{0.6^{2x}}{0.6^5}$

Шаг 1: Применим свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части:

$$0.6^{x+3} = \frac{0.6^{2x}}{0.6^5}.$$

Шаг 2: Применим свойство степени для правой части $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$0.6^{x+3} = 0.6^{2x — 5}.$$

Шаг 3: Поскольку основания одинаковые, показатели степени должны быть равны:

$$x + 3 = 2x — 5.$$

Шаг 4: Решим линейное уравнение:

$$x = 8.$$

Ответ: $x = 8$.

6) $6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}$

Шаг 1: Перепишем дробь с основанием 6:

$$6^{3x} \cdot 6^{-1} = 6 \cdot 6^{-2x}.$$

Шаг 2: Применим свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$6^{3x-1} = 6^{1-2x}.$$

Шаг 3: Поскольку основания одинаковые, показатели степени должны быть равны:

$$3x — 1 = 1 — 2x.$$

Шаг 4: Решим линейное уравнение:

$$5x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{5} = 0.4.$$

Ответ: $x = 0.4$.

Итоговые ответы:

1. $x = 1.5$
2. $x = 2.5$
3. $x = 0.75$
4. $x = 9$
5. $x = 8$
6. $x = 0.4$