ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 21 Алимов — Подробные Ответы

1. bn = 3*(-2)n;
2. bn = -5*4n;
3. bn = 8*(-1/3)(n-1);
4. bn = 3*(-1/2)(n-1).

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы;

1)

$b_n = 3 \cdot (-2)^n;$

$b_{n+1} = 3 \cdot (-2)^{n+1} = 3 \cdot (-2)^n \cdot (-2) = -6 \cdot (-2)^n;$

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-6 \cdot (-2)^n}{3 \cdot (-2)^n} = \frac{-6}{3} = -2;$

$|q| > 1$ — прогрессия не убывает;

Ответ: не является.

2)

$b_n = -5 \cdot 4^n;$

$b_{n+1} = -5 \cdot 4^{n+1} = -5 \cdot 4^n \cdot 4 = -20 \cdot 4^n;$

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-20 \cdot 4^n}{-5 \cdot 4^n} = \frac{20}{5} = 4;$

$|q| > 1$ — прогрессия не убывает;

Ответ: не является.

3)

$b_n = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n : \left(-\frac{1}{3}\right) = -24 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n;$

$b_{n+1} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{(n+1)-1} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n;$

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n}{-24 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n} = \frac{8}{-24} = -\frac{1}{3};$

$|q| < 1$ — прогрессия бесконечно убывает;

Ответ: является.

4)

$b_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n : \left(-\frac{1}{2}\right) = -6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n;$

$b_{n+1} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{(n+1)-1} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n;$

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n}{-6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2};$

$|q| < 1$ — прогрессия бесконечно убывает;

Ответ: является.

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

1) $b_n = 3 \cdot (-2)^n$

1.1. Для нахождения следующего члена прогрессии используем формулу для $b_{n+1}$:

$$b_{n+1} = 3 \cdot (-2)^{n+1} = 3 \cdot (-2)^n \cdot (-2) = -6 \cdot (-2)^n$$

1.2. Теперь находим знаменатель прогрессии $q$ как отношение $b_{n+1}$ к $b_n$:

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-6 \cdot (-2)^n}{3 \cdot (-2)^n} = \frac{-6}{3} = -2$$

1.3. Модуль знаменателя:

$$|q| = 2$$

1.4. Поскольку $|q| = 2 > 1$, прогрессия не является убывающей, так как для бесконечно убывающей геометрической прогрессии $|q|$ должно быть меньше 1.

Ответ: не является.

2) $b_n = -5 \cdot 4^n$

2.1. Для нахождения следующего члена прогрессии $b_{n+1}$:

$$b_{n+1} = -5 \cdot 4^{n+1} = -5 \cdot 4^n \cdot 4 = -20 \cdot 4^n$$

2.2. Находим знаменатель прогрессии $q$:

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-20 \cdot 4^n}{-5 \cdot 4^n} = \frac{20}{5} = 4$$

2.3. Модуль знаменателя:

$$|q| = 4$$

2.4. Поскольку $|q| = 4 > 1$, прогрессия не является убывающей.

Ответ: не является.

3) $b_n = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

3.1. Для упрощения записи, выразим $b_n$ как:

$$b_n = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n : \left(-\frac{1}{3}\right) = -24 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n$$

3.2. Для нахождения следующего члена прогрессии $b_{n+1}$:

$$b_{n+1} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{(n+1)-1} = 8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n$$

3.3. Находим знаменатель прогрессии $q$:

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{8 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n}{-24 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n} = \frac{8}{-24} = -\frac{1}{3}$$

3.4. Модуль знаменателя:

$$|q| = \frac{1}{3}$$

3.5. Поскольку $|q| = \frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: является.

4) $b_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

4.1. Для упрощения записи, выразим $b_n$ как:

$$b_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n : \left(-\frac{1}{2}\right) = -6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$$

4.2. Для нахождения следующего члена прогрессии $b_{n+1}$:

$$b_{n+1} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{(n+1)-1} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$$

4.3. Находим знаменатель прогрессии $q$:

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n}{-6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$$

4.4. Модуль знаменателя:

$$|q| = \frac{1}{2}$$

4.5. Поскольку $|q| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: является.