ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре Учебник 📕 Колягин, Ткачева — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 21 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n -го члена:

bn = 3*(-2)n;
bn = -5*4n;
bn = 8*(-1/3)(n-1);
bn = 3*(-1/2)(n-1).

Краткий ответ:

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы;

1)

$b_{n} = 3 \cdot (- 2)^{n};$

$b_{n + 1} = 3 \cdot (- 2)^{n + 1} = 3 \cdot (- 2)^{n} \cdot (- 2) = - 6 \cdot (- 2)^{n};$

$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{- 6 \cdot (- 2)^{n}}{3 \cdot (- 2)^{n}} = \frac{- 6}{3} = - 2;$

$∣ q ∣ > 1$ — прогрессия не убывает;

Ответ: не является.

2)

$b_{n} = - 5 \cdot 4^{n};$

$b_{n + 1} = - 5 \cdot 4^{n + 1} = - 5 \cdot 4^{n} \cdot 4 = - 20 \cdot 4^{n};$

$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{- 20 \cdot 4^{n}}{- 5 \cdot 4^{n}} = \frac{20}{5} = 4;$

$∣ q ∣ > 1$ — прогрессия не убывает;

Ответ: не является.

3)

$b_{n} = 8 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n - 1} = 8 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n} : (- \frac{1}{3}) = - 24 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n};$

$b_{n + 1} = 8 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{(n + 1) - 1} = 8 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n};$

$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{8 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n}}{- 24 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n}} = \frac{8}{- 24} = - \frac{1}{3};$

$∣ q ∣ < 1$ — прогрессия бесконечно убывает;

Ответ: является.

4)

$b_{n} = 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} = 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n} : (- \frac{1}{2}) = - 6 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n};$

$b_{n + 1} = 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{(n + 1) - 1} = 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n};$

$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}}{- 6 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}} = \frac{3}{- 6} = - \frac{1}{2};$

$∣ q ∣ < 1$ — прогрессия бесконечно убывает;

Ответ: является.

Подробный ответ:

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

1) $b_{n} = 3 \cdot (- 2)^{n}$

1.1. Для нахождения следующего члена прогрессии используем формулу для $b_{n + 1}$ :

$b_{n + 1} = 3 \cdot (- 2)^{n + 1} = 3 \cdot (- 2)^{n} \cdot (- 2) = - 6 \cdot (- 2)^{n}$

1.2. Теперь находим знаменатель прогрессии $q$ как отношение $b_{n + 1}$ к $b_{n}$ :

$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{- 6 \cdot (- 2)^{n}}{3 \cdot (- 2)^{n}} = \frac{- 6}{3} = - 2$

1.3. Модуль знаменателя:

$∣ q ∣ = 2$

1.4. Поскольку $∣ q ∣ = 2 > 1$ , прогрессия не является убывающей, так как для бесконечно убывающей геометрической прогрессии $∣ q ∣$ должно быть меньше 1.

Ответ: не является.

2) $b_{n} = - 5 \cdot 4^{n}$

2.1. Для нахождения следующего члена прогрессии $b_{n + 1}$ :

$b_{n + 1} = - 5 \cdot 4^{n + 1} = - 5 \cdot 4^{n} \cdot 4 = - 20 \cdot 4^{n}$

2.2. Находим знаменатель прогрессии $q$ :

$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{- 20 \cdot 4^{n}}{- 5 \cdot 4^{n}} = \frac{20}{5} = 4$

2.3. Модуль знаменателя:

$∣ q ∣ = 4$

2.4. Поскольку $∣ q ∣ = 4 > 1$ , прогрессия не является убывающей.

Ответ: не является.

3) $b_{n} = 8 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

3.1. Для упрощения записи, выразим $b_{n}$ как:

$b_{n} = 8 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n} : (- \frac{1}{3}) = - 24 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n}$

3.2. Для нахождения следующего члена прогрессии $b_{n + 1}$ :

$b_{n + 1} = 8 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{(n + 1) - 1} = 8 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n}$

3.3. Находим знаменатель прогрессии $q$ :

$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{8 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n}}{- 24 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n}} = \frac{8}{- 24} = - \frac{1}{3}$

3.4. Модуль знаменателя:

$∣ q ∣ = \frac{1}{3}$

3.5. Поскольку $∣ q ∣ = \frac{1}{3} < 1$ , прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: является.

4) $b_{n} = 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

4.1. Для упрощения записи, выразим $b_{n}$ как:

$b_{n} = 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n} : (- \frac{1}{2}) = - 6 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}$

4.2. Для нахождения следующего члена прогрессии $b_{n + 1}$ :

$b_{n + 1} = 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{(n + 1) - 1} = 3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}$

4.3. Находим знаменатель прогрессии $q$ :

$q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{3 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}}{- 6 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}} = \frac{3}{- 6} = - \frac{1}{2}$

4.4. Модуль знаменателя:

$∣ q ∣ = \frac{1}{2}$

4.5. Поскольку $∣ q ∣ = \frac{1}{2} < 1$ , прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: является.

Оцени решение