ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 206 Алимов — Подробные Ответы

При радиоактивном распаде количество некоторого вещества уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через 1,5 суток? через 3,5 суток? Вычисления провести на микрокалькуляторе.

Количество некоторого радиоактивного вещества уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 грамм через 1,5 и 3,5 суток:

• 
  $m_0 = 250$ 

  (грамм);

• 
  $t_1 = 1,5$ 

  (суток);

• 
  $t_2 = 3,5$ 

  (суток);

• 
  $T = 1$ 

  (сутки);

Масса вещества через 1,5 суток:

$$m(t_1) = m_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t_1}{T}} = 250 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{1.5} \approx 250 \cdot 0.3535 \approx 88.4 \text{ (грамм)};$$

Масса вещества через 3,5 суток:

$$m(t_2) = m_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t_2}{T}} = 250 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3.5} \approx 250 \cdot 0.0883 \approx 22.1 \text{ (грамм)};$$

Ответ: 88,4 грамм; 22,1 грамм.

Дано:

• Начальная масса радиоактивного вещества:
  $m_0 = 250$ 

  грамм;

• Время, за которое масса уменьшается вдвое (период полураспада):
  $T = 1$ 

  сутки;

• Временные моменты, для которых нужно найти массу:
  • 
    $t_1 = 1.5$ 

    суток;

  • 
    $t_2 = 3.5$ 

    суток.

Общая формула распада

Распад радиоактивного вещества описывается экспоненциальной зависимостью:

$$m(t) = m_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}}$$

где:

• 
  $m(t)$ 

  — масса вещества в момент времени $t$ 

  ;

• 
  $m_0$ 

  — начальная масса вещества;

• 
  $T$ 

  — период полураспада;

• 
  $t$ 

  — время, прошедшее с начального момента.

Вычисление массы через 1,5 суток

Подставляем

$t_1 = 1.5$

суток в общую формулу:

$$m(1.5) = 250 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1.5}{1}}$$

Сначала вычислим показатель степени:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{1.5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{0.5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Приближённое значение

$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$

:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{1.5} \approx 0.5 \times 0.707 = 0.3535$$

Теперь умножаем на начальную массу:

$$m(1.5) = 250 \times 0.3535 \approx 88.4$$

Ответ для 1,5 суток: 88,4 грамма.

Вычисление массы через 3,5 суток

Подставляем

$t_2 = 3.5$

суток в общую формулу:

$$m(3.5) = 250 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{3.5}{1}}$$

Сначала вычислим показатель степени:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{3.5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{7/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{0.5} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Приближённое значение:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{3.5} \approx 0.125 \times 0.707 = 0.0883$$

Теперь умножаем на начальную массу:

$$m(3.5) = 250 \times 0.0883 \approx 22.1$$

Ответ для 3,5 суток: 22,1 грамма.

Итоговый ответ:

$$\boxed{88.4 \text{ грамм}; 22.1 \text{ грамм}.}$$