ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 205 Алимов — Подробные Ответы

1. y= 2^|x|;
2. y= (1/3)|x|;
3. y= |3x-2|;
4. y= 2-3x.

$y = 2^{|x|}$;
Функция является четной:
$y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$;

Если $x \geq 0$, тогда $y = 2^x$, значит:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y \geq 1$;
• Функция возрастает на $(0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 2 & 4 \\ \end{array}$$

График функции:

$y = \left( \frac{1}{3} \right)^{|x|}$;
Функция является четной:
$y(-x) = \left( \frac{1}{3} \right)^{|-x|} = \left( \frac{1}{3} \right)^{|x|} = y(x)$;

Если $x \geq 0$, тогда $y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$, значит:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $0 < y \leq 1$;
• Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & \frac{1}{3} \\ \end{array}$$

График функции:

$y = |3^x — 2|$;
Рассмотрим функцию $y = 3^x$:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y > 0$;
• Функция возрастает, так как $3 > 1$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 3 & 9 \\ \end{array}$$

Построим график функции $y = 3^x$ и осуществим его сдвиг вдоль оси ординат на 2 единицы вниз, а затем отразим его часть, находящуюся под осью абсцисс:

$y = 2 — 3^x$;
Рассмотрим функцию $y = 3^x$:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y > 0$;
• Функция возрастает, так как $3 > 1$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 3 & 9 \\ \end{array}$$

Построим график функции $y = 3^x$ и отразим его относительно оси абсцисс, а затем осуществим его сдвиг вдоль оси ординат на 2 единицы вверх:

$$\boxed{ \text{Текст изображен выше без изменений.} }$$

1. $y = 2^{|x|}$

Анализ функции
Рассмотрим функцию $y = 2^{|x|}$. Важно учитывать, что в этой функции присутствует абсолютное значение в показателе степени.

• Четность функции: Чтобы проверить, является ли функция четной, нужно доказать, что $y(-x) = y(x)$ для всех $x$.

• • • Рассмотрим $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Поскольку $|x| = |-x|$, мы получаем, что $y(-x) = y(x)$, следовательно, функция является четной.
• Область определения: Функция экспоненциальная и определена для всех значений $x \in \mathbb{R}$, так как $2^x$ существует для любых значений $x$.
• Множество значений: Поскольку $2^{|x|}$ всегда больше или равно 1 для всех значений $x$, то множество значений функции будет $y \geq 1$.
• Монотонность:

• • • При $x \geq 0$, функция $y = 2^x$ возрастает, потому что основание степени 2 больше 1, и экспоненциальная функция всегда возрастает на $(0; +\infty)$.
    • При $x \leq 0$, функция $y = 2^{-x}$ убывает, так как основание степени меньше 1, и такая функция убывает на $(-\infty; 0]$.

Координаты некоторых точек: Рассмотрим несколько точек для функции:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 2 & 4 \\ \end{array}$$

При $x = 0$, $y = 2^0 = 1$. При $x = 1$, $y = 2^1 = 2$, и при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$.

График функции:

• График будет симметричен относительно оси $y$, так как функция четная.
• При $x \geq 0$ график будет возрастать, а при $x \leq 0$ — убывать.
• График функции выглядит как «половинка» экспоненциальной кривой, которая расширяется вверх и влево.

2. $y = \left( \frac{1}{3} \right)^{|x|}$

Анализ функции
Рассмотрим функцию $y = \left( \frac{1}{3} \right)^{|x|}$.

• Четность функции: Проверим, является ли функция четной:

$$y(-x) = \left( \frac{1}{3} \right)^{|-x|} = \left( \frac{1}{3} \right)^{|x|} = y(x)$$

Функция четная, так как $y(-x) = y(x)$.

• Область определения: Эта функция определена для всех значений $x \in \mathbb{R}$, так как $\left( \frac{1}{3} \right)^x$ существует для всех $x$.
• Множество значений: Поскольку $\left( \frac{1}{3} \right)^x$ всегда положительно и $0 < \left( \frac{1}{3} \right)^x \leq 1$, то множество значений функции будет $0 < y \leq 1$.
• Монотонность:

• • • При $x \geq 0$, функция $\left( \frac{1}{3} \right)^x$ убывает, так как основание $\frac{1}{3}$ меньше 1, и экспоненциальная функция убывает на $(0; +\infty)$.
    • При $x \leq 0$, функция возрастает, поскольку $\left( \frac{1}{3} \right)^{-x}$ увеличивается на $(-\infty; 0)$.

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 1 \\ \hline y & 1 & \frac{1}{3} \\ \end{array}$$

При $x = 0$, $y = \left( \frac{1}{3} \right)^0 = 1$. При $x = 1$, $y = \left( \frac{1}{3} \right)^1 = \frac{1}{3}$.

График функции:

• График функции будет симметричен относительно оси $y$, так как функция четная.
• При $x \geq 0$ график будет убывать, а при $x \leq 0$ — возрастать.
• График будет похож на «половинку» экспоненциальной кривой, которая направлена вниз и влево.

3. $y = |3^x — 2|$

Анализ функции
Рассмотрим функцию $y = |3^x — 2|$.

• Область определения: Функция $3^x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, следовательно, функция $y = |3^x — 2|$ также определена на всей числовой оси.
• Множество значений: Поскольку $|3^x — 2| \geq 0$, функция всегда неотрицательна, и её множество значений будет $y \geq 0$.
• Монотонность:

• • • При $x = 0$, $y = |3^0 — 2| = |1 — 2| = 1$.
    • При $x > 0$, $3^x — 2 > 0$, так что $y = 3^x — 2$.
    • При $x < 0$, $3^x — 2 < 0$, так что $y = 2 — 3^x$.

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 1 & 7 \\ \end{array}$$

При $x = 0$, $y = |3^0 — 2| = |1 — 2| = 1$. При $x = 1$, $y = |3^1 — 2| = |3 — 2| = 1$. При $x = 2$, $y = |3^2 — 2| = |9 — 2| = 7$.

График функции:

• Сначала строим график функции $y = 3^x$.
• Затем сдвигаем его вдоль оси ординат на 2 единицы вниз.
• Отражаем часть графика, которая находится под осью абсцисс, относительно этой оси.

4. $y = 2 — 3^x$

Анализ функции
Рассмотрим функцию $y = 2 — 3^x$.

• Область определения: Функция $3^x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, следовательно, функция $y = 2 — 3^x$ также определена на всей числовой оси.
• Множество значений: Поскольку $3^x$ всегда положительно, то $2 — 3^x$ всегда отрицательно для $x > 0$ и может быть положительным для $x < 0$. Множество значений: $y \in (-\infty, 2]$.
• Монотонность: Функция убывает, так как $3^x$ возрастает.

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & -1 & -7 \\ \end{array}$$

При $x = 0$,

$y = 2 — 3^0 = 1$. При $x = 1$, $y = 2 — 3^1 = -1$. При $x = 2$, $y = 2 — 3^2 = -7$.

График функции:

• Сначала строим график функции $y = 3^x$.
• Отражаем его относительно оси абсцисс.
• Затем сдвигаем его вдоль оси ординат на 2 единицы вверх.