ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 205 Алимов — Подробные Ответы

1. y= 2^|x|;
2. y= (1/3)|x|;
3. y= |3x-2|;
4. y= 2-3x.

$\mathrm{1).\; y}=2^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$;
Функция является четной:
$y(-x)=2^{\mathrm{\mid }-x\mathrm{\mid }}=2^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=y(x)$;

Если $x\ge 0$, тогда $y=2^x$, значит:

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y\ge 1$;
• Функция возрастает на $(0;+\mathrm{\infty })$ и убывает на $(-\mathrm{\infty };0]$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 2\\ y& 1& 2& 4\end{array}$$

График функции:

$\mathrm{2).\; y}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$;
Функция является четной:
$y(-x)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{\mid }-x\mathrm{\mid }}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=y(x)$;

Если $x\ge 0$, тогда $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, значит:

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $0<y\le 1$;
• Функция возрастает на $(-\mathrm{\infty };0)$ и убывает на $(0;+\mathrm{\infty })$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{ccc}x& 0& 1\\ y& 1& \frac{1}{3}\end{array}$$

График функции:

$\mathrm{3).\; y}=\mathrm{\mid }{3}^x-2\mathrm{\mid }$;
Рассмотрим функцию $y=3^x$:

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y>0$;
• Функция возрастает, так как $3>1$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 2\\ y& 1& 3& 9\end{array}$$

Построим график функции $y=3^x$ и осуществим его сдвиг вдоль оси ординат на 2 единицы вниз, а затем отразим его часть, находящуюся под осью абсцисс:

$\mathrm{4).\; y}=2-3^x$;
Рассмотрим функцию $y=3^x$:

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y>0$;
• Функция возрастает, так как $3>1$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 2\\ y& 1& 3& 9\end{array}$$

Построим график функции $y=3^x$ и отразим его относительно оси абсцисс, а затем осуществим его сдвиг вдоль оси ординат на 2 единицы вверх:

1. $y=2^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$

Анализ функции
Рассмотрим функцию $y=2^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$. Важно учитывать, что в этой функции присутствует абсолютное значение в показателе степени.

• Четность функции: Чтобы проверить, является ли функция четной, нужно доказать, что $y(-x)=y(x)$ для всех $x$.
• Рассмотрим $y(-x)=2^{\mathrm{\mid }-x\mathrm{\mid }}=2^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=y(x)$. Поскольку $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-x\mathrm{\mid }$, мы получаем, что $y(-x)=y(x)$, следовательно, функция является четной.
• Область определения: Функция экспоненциальная и определена для всех значений $x\in \mathbb{R}$, так как $2^x$ существует для любых значений $x$.
• Множество значений: Поскольку $2^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$ всегда больше или равно 1 для всех значений $x$, то множество значений функции будет $y\ge 1$.
• Монотонность:
• При $x\ge 0$, функция $y=2^x$ возрастает, потому что основание степени 2 больше 1, и экспоненциальная функция всегда возрастает на $(0;+\mathrm{\infty })$.
• При $x\le 0$, функция $y=2^{-x}$ убывает, так как основание степени меньше 1, и такая функция убывает на $(-\mathrm{\infty };0]$.

Координаты некоторых точек: Рассмотрим несколько точек для функции:

$$\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 2\\ y& 1& 2& 4\end{array}$$

При $x=0$, $y=2^0=1$. При $x=1$, $y=2^1=2$, и при $x=2$, $y=2^2=4$.

График функции:

• График будет симметричен относительно оси $y$, так как функция четная.
• При $x\ge 0$ график будет возрастать, а при $x\le 0$ — убывать.
• График функции выглядит как «половинка» экспоненциальной кривой, которая расширяется вверх и влево.

2. $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$

Анализ функции
Рассмотрим функцию $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$.

• Четность функции: Проверим, является ли функция четной:

$$y(-x)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{\mid }-x\mathrm{\mid }}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}=y(x)$$

Функция четная, так как $y(-x)=y(x)$.

• Область определения: Эта функция определена для всех значений $x\in \mathbb{R}$, так как ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ существует для всех $x$.
• Множество значений: Поскольку ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ всегда положительно и $0<{\left(\frac{1}{3}\right)}^x\le 1$, то множество значений функции будет $0<y\le 1$.
• Монотонность:
• При $x\ge 0$, функция ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ убывает, так как основание $\frac{1}{3}$ меньше 1, и экспоненциальная функция убывает на $(0;+\mathrm{\infty })$.
• При $x\le 0$, функция возрастает, поскольку ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-x}$ увеличивается на $(-\mathrm{\infty };0)$.

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{ccc}x& 0& 1\\ y& 1& \frac{1}{3}\end{array}$$

При $x=0$, $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$. При $x=1$, $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^1=\frac{1}{3}$.

График функции:

• График функции будет симметричен относительно оси $y$, так как функция четная.
• При $x\ge 0$ график будет убывать, а при $x\le 0$ — возрастать.
• График будет похож на «половинку» экспоненциальной кривой, которая направлена вниз и влево.

3. $y=\mathrm{\mid }{3}^x-2\mathrm{\mid }$

Анализ функции
Рассмотрим функцию $y=\mathrm{\mid }{3}^x-2\mathrm{\mid }$.

• Область определения: Функция $3^x$ определена для всех $x\in \mathbb{R}$, следовательно, функция $y=\mathrm{\mid }{3}^x-2\mathrm{\mid }$ также определена на всей числовой оси.
• Множество значений: Поскольку $\mathrm{\mid }{3}^x-2\mathrm{\mid }\ge 0$, функция всегда неотрицательна, и её множество значений будет $y\ge 0$.
• Монотонность:
• При $x=0$, $y=\mathrm{\mid }{3}^0-2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }1-2\mathrm{\mid }=1$.
• При $x>0$, $3^x-2>0$, так что $y=3^x-2$.
• При $x<0$, $3^x-2<0$, так что $y=2-3^x$.

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 2\\ y& 1& 1& 7\end{array}$$

При $x=0$, $y=\mathrm{\mid }{3}^0-2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }1-2\mathrm{\mid }=1$. При $x=1$, $y=\mathrm{\mid }{3}^1-2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }3-2\mathrm{\mid }=1$. При $x=2$, $y=\mathrm{\mid }{3}^2-2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }9-2\mathrm{\mid }=7$.

График функции:

• Сначала строим график функции $y=3^x$.
• Затем сдвигаем его вдоль оси ординат на 2 единицы вниз.
• Отражаем часть графика, которая находится под осью абсцисс, относительно этой оси.

4. $y=2-3^x$

Анализ функции
Рассмотрим функцию $y=2-3^x$.

• Область определения: Функция $3^x$ определена для всех $x\in \mathbb{R}$, следовательно, функция $y=2-3^x$ также определена на всей числовой оси.
• Множество значений: Поскольку $3^x$ всегда положительно, то $2-3^x$ всегда отрицательно для $x>0$ и может быть положительным для $x<0$. Множество значений: $y\in (-\mathrm{\infty },2]$.
• Монотонность: Функция убывает, так как $3^x$ возрастает.

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 2\\ y& 1& -1& -7\end{array}$$

При $x=0$,

$y=2-3^0=1$. При $x=1$, $y=2-3^1=-1$. При $x=2$, $y=2-3^2=-7$.

График функции:

• Сначала строим график функции $y=3^x$.
• Отражаем его относительно оси абсцисс.
• Затем сдвигаем его вдоль оси ординат на 2 единицы вверх.