ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 204 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 2^|x| на отрезке [-1; 1].

Дана функция: $y = 2^{|x|}$;

Функция является четной:
$y(-x) = 2^{|-x|} = 2^x = y(x)$;

Функция возрастает на отрезке $[0; +\infty)$:
$y = 2^x$ и $2 > 1$;

Значит, функция убывает на отрезке $(-∞; 0]$;

Наименьшее значение на отрезке $[-1; 1]$:
$y_{\text{min}} = y(0) = 2^0 = 1$;

Наибольшее значение на отрезке $[-1; 1]$:
$y_{\text{max}} = y(1) = 2^1 = 2$;

Ответ: $y_{\text{min}} = 1$; $y_{\text{max}} = 2$.

Шаг 1: Анализ функции $y = 2^{|x|}$

Дана функция:

$$y = 2^{|x|}$$

Это экспоненциальная функция с основанием 2 и модулем $|x|$ в показателе степени. Рассмотрим её основные свойства:

Свойства функции $y = 2^{|x|}$:

1. Область определения: $x \in \mathbb{R}$ (функция определена для всех действительных чисел).
2. Множество значений: $y > 0$ (значения функции всегда положительны).
3. Монотонность:
   • Функция возрастает на отрезке $[0; +\infty)$, так как для $x \geq 0$, $|x| = x$, и функция $y = 2^x$ возрастает (так как основание $2 > 1$).
   • Функция убывает на отрезке $(-\infty; 0]$, так как для $x \leq 0$, $|x| = -x$, и функция $y = 2^{-x}$ убывает (так как $0 < 2^{-x} < 1$ для $x > 0$).

Шаг 2: Доказательство четности функции

Функция называется четной, если выполняется условие:

$$f(-x) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

Проверим это для функции $y = 2^{|x|}$.
Для любого значения $x$ имеем:

$$y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x),$$

что подтверждает, что функция является четной. Это означает, что график функции симметричен относительно оси $y$ (оси ординат).

Шаг 3: Монотонность функции на отрезках

1. На отрезке $[0; +\infty)$:
   Функция $y = 2^{|x|}$ на этом отрезке сводится к функции $y = 2^x$, которая возрастает, так как основание $2 > 1$. Таким образом, функция возрастает на отрезке $[0; +\infty)$.
2. На отрезке $(-\infty; 0]$:
   На этом отрезке $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = 2^{-x}$, которая убывает, так как $0 < 2^{-x} < 1$ для $x > 0$. Следовательно, функция убывает на отрезке $(-\infty; 0]$.

Шаг 4: Нахождение наименьшего и наибольшего значений на отрезке $[-1; 1]$

Минимальное значение на отрезке $[-1; 1]$:

Поскольку функция является четной, её значения на интервале $[-1; 1]$ симметричны относительно точки $x = 0$. Рассмотрим:

При $x = 0$:

$$y(0) = 2^{|0|} = 2^0 = 1.$$

Это минимальное значение функции на отрезке $[-1; 1]$, так как функция возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$.

Следовательно, наименьшее значение на отрезке $[-1; 1]$:

$$y_{\text{min}} = 1.$$

Максимальное значение на отрезке $[-1; 1]$:

Теперь рассмотрим $x = 1$ (или $x = -1$, поскольку функция четная и значения на этих точках одинаковы):

$$y(1) = 2^{|1|} = 2^1 = 2.$$

Следовательно, наибольшее значение на отрезке $[-1; 1]$:

$$y_{\text{max}} = 2.$$

Шаг 5: Ответ

На основании проведённого анализа:

• Наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно $1$.
• Наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно $2$.