ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 20 Алимов — Подробные Ответы

1. 0,(5);
2. 0,(8);
3. 0,(32);
4. 0,2(5).

1). $0,\bar{5}=0,555555\dots =0,5+0,05+0,005+\dots$

Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

$b_1=0,5$ и $b_2=0,05$;

Знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{0,05}{0,5}=\frac{5}{50}=0,1$$

Сумма прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,5}{1-0,1}=\frac{0,5}{0,9}=\frac{5}{9}$$

Ответ: $\frac{5}{9}$.

2). $0,\bar{8}=0,888888\dots =0,8+0,08+0,008+\dots$

Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

$b_1=0,8$ и $b_2=0,08$;

Знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{0,08}{0,8}=\frac{8}{80}=0,1$$

Сумма прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,8}{1-0,1}=\frac{0,8}{0,9}=\frac{8}{9}$$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

3). $0,\overline{32}=0,323232\dots =0,32+0,0032+0,000032+\dots$

Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

$b_1=0,32$ и $b_2=0,0032$;

Знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{0,0032}{0,32}=\frac{32}{3200}=0,01$$

Сумма прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,32}{1-0,01}=\frac{0,32}{0,99}=\frac{32}{99}$$

Ответ: $\frac{32}{99}$.

4). $0,2\bar{5}=0,255555\dots =0,2+0,05+0,005+0,0005+\dots$

Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

$b_1=0,05$ и $b_2=0,005$;

Знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{0,005}{0,05}=\frac{5}{50}=0,1$$

Сумма прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,05}{1-0,1}=\frac{0,05}{0,9}=\frac{5}{90}$$

Теперь вычислим результат:

$$0,2+\frac{5}{90}=\frac{2}{10}+\frac{5}{90}=\frac{18}{90}+\frac{5}{90}=\frac{23}{90}$$

Ответ: $\frac{23}{90}$.

Рассмотрим каждую бесконечную периодическую десятичную дробь и представим её в виде обыкновенной дроби, используя метод бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1)

$0,\bar{5}=0,55555\dots$

Эту дробь можно представить как сумму:

$$0,5+0,05+0,005+\dots$$

Это геометрическая прогрессия с:

• первым членом $b_1=0,5$;
• знаменателем прогрессии $q=0,1$ (так как $\frac{0,05}{0,5}=0,1$).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,5}{1-0,1}=\frac{0,5}{0,9}=\frac{5}{9}$$

Ответ: $\frac{5}{9}$.

2)

$0,\bar{8}=0,88888\dots$

Эту дробь можно представить как сумму:

$$0,8+0,08+0,008+\dots$$

Это геометрическая прогрессия с:

• первым членом $b_1=0,8$;
• знаменателем прогрессии $q=0,1$ (так как $\frac{0,08}{0,8}=0,1$).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,8}{1-0,1}=\frac{0,8}{0,9}=\frac{8}{9}$$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

3)

$0,\overline{32}=0,323232\dots$

Эту дробь можно представить как сумму:

$$0,32+0,0032+0,000032+\dots$$

Это геометрическая прогрессия с:

• первым членом $b_1=0,32$;
• знаменателем прогрессии $q=0,01$ (так как $\frac{0,0032}{0,32}=0,01$).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,32}{1-0,01}=\frac{0,32}{0,99}=\frac{32}{99}$$

Ответ: $\frac{32}{99}$.

4)

$0,2\bar{5}=0,255555\dots$

Эту дробь можно представить как сумму:

$$0,2+0,05+0,005+0,0005+\dots$$

Это геометрическая прогрессия с:

• первым членом $b_1=0,05$;
• знаменателем прогрессии $q=0,1$ (так как $\frac{0,005}{0,05}=0,1$).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,05}{1-0,1}=\frac{0,05}{0,9}=\frac{5}{90}$$

Теперь добавим к этому $0,2$, представив его как $\frac{1}{5}=\frac{18}{90}$:

$$0,2+\frac{5}{90}=\frac{18}{90}+\frac{5}{90}=\frac{23}{90}$$

Ответ: $\frac{23}{90}$.