ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 20 Алимов — Подробные Ответы

1. 0,(5);
2. 0,(8);
3. 0,(32);
4. 0,2(5).

1). $0, \overline{5} = 0, 555555\ldots = 0,5 + 0,05 + 0,005 + \ldots$

Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

$b_1 = 0,5$ и $b_2 = 0,05$;

Знаменатель прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,05}{0,5} = \frac{5}{50} = 0,1$$

Сумма прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,5}{1 — 0,1} = \frac{0,5}{0,9} = \frac{5}{9}$$

Ответ: $\frac{5}{9}$.

2). $0, \overline{8} = 0, 888888\ldots = 0,8 + 0,08 + 0,008 + \ldots$

Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

$b_1 = 0,8$ и $b_2 = 0,08$;

Знаменатель прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,08}{0,8} = \frac{8}{80} = 0,1$$

Сумма прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,8}{1 — 0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}$$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

3). $0, \overline{32} = 0, 323232\ldots = 0,32 + 0,0032 + 0,000032 + \ldots$

Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

$b_1 = 0,32$ и $b_2 = 0,0032$;

Знаменатель прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,0032}{0,32} = \frac{32}{3200} = 0,01$$

Сумма прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,32}{1 — 0,01} = \frac{0,32}{0,99} = \frac{32}{99}$$

Ответ: $\frac{32}{99}$.

4). $0,2\overline{5} = 0, 255555\ldots = 0,2 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 + \ldots$

Имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

$b_1 = 0,05$ и $b_2 = 0,005$;

Знаменатель прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,005}{0,05} = \frac{5}{50} = 0,1$$

Сумма прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,05}{1 — 0,1} = \frac{0,05}{0,9} = \frac{5}{90}$$

Теперь вычислим результат:

$$0,2 + \frac{5}{90} = \frac{2}{10} + \frac{5}{90} = \frac{18}{90} + \frac{5}{90} = \frac{23}{90}$$

Ответ: $\frac{23}{90}$.

Рассмотрим каждую бесконечную периодическую десятичную дробь и представим её в виде обыкновенной дроби, используя метод бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1)

$0, \overline{5} = 0, 55555\ldots$

Эту дробь можно представить как сумму:

$$0,5 + 0,05 + 0,005 + \ldots$$

Это геометрическая прогрессия с:

• первым членом $b_1 = 0,5$;
• знаменателем прогрессии $q = 0,1$ (так как $\frac{0,05}{0,5} = 0,1$).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,5}{1 — 0,1} = \frac{0,5}{0,9} = \frac{5}{9}$$

Ответ: $\frac{5}{9}$.

2)

$0, \overline{8} = 0, 88888\ldots$

Эту дробь можно представить как сумму:

$$0,8 + 0,08 + 0,008 + \ldots$$

Это геометрическая прогрессия с:

• первым членом $b_1 = 0,8$;
• знаменателем прогрессии $q = 0,1$ (так как $\frac{0,08}{0,8} = 0,1$).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,8}{1 — 0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}$$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

3)

$0, \overline{32} = 0, 323232\ldots$

Эту дробь можно представить как сумму:

$$0,32 + 0,0032 + 0,000032 + \ldots$$

Это геометрическая прогрессия с:

• первым членом $b_1 = 0,32$;
• знаменателем прогрессии $q = 0,01$ (так как $\frac{0,0032}{0,32} = 0,01$).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,32}{1 — 0,01} = \frac{0,32}{0,99} = \frac{32}{99}$$

Ответ: $\frac{32}{99}$.

4)

$0,2\overline{5} = 0, 255555\ldots$

Эту дробь можно представить как сумму:

$$0,2 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 + \ldots$$

Это геометрическая прогрессия с:

• первым членом $b_1 = 0,05$;
• знаменателем прогрессии $q = 0,1$ (так как $\frac{0,005}{0,05} = 0,1$).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,05}{1 — 0,1} = \frac{0,05}{0,9} = \frac{5}{90}$$

Теперь добавим к этому $0,2$, представив его как $\frac{1}{5} = \frac{18}{90}$:

$$0,2 + \frac{5}{90} = \frac{18}{90} + \frac{5}{90} = \frac{23}{90}$$

Ответ: $\frac{23}{90}$.